No sé cómo probar por definición el siguiente límite (que es 0 por todas las curvas que probé) en el origen por el 1 que hay restando:
$$\frac{\cos ( y + x ^ 2) - 1}{x + y}$$
Gracias por la ayuda!!!
Tema
[No resuelto] recuperatorio 1er parcial 17/07/10 - ej. 1
Hmmm fa hace tanto que no pensaba un ej asi, a ver si esto te ayuda...
Recorda que si \(x<1\)entonces \(x^2<x\) luego \(1/x^2 >1/ x\). Por otro lado tambien pensa que \(cos(0)=1\) Por otro lado,como te interesa ver que pasa en el origen, podes encontrar un delta tal que \(x<1\).Fijate si con esas ideas sale...
Mepa que la clave es que no existe....
Acá tenés una posible resolución y parece estar bien...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
no existe, tomás por la curva (x ; x^2 - x)
y te da un 1/2
🙂
Si, eso es lo mismo que dice el link de arriba 😛
Saludos...
peeerdón, no lo vi. 😎
Ahí vi la resolución... espero que se me ocurra hacer eso en el recu si es que me toman algo similar!!!
Gracias 😉
Esperemos que si. Pero fijate que los cosenos a veces molestan. Sino se te ocurre una manera fácil de demostrarlo por definición, tirate a buscar curvas del estil \(y=x-x^{n}\) o \(y=x^{n}-x\) cosas asi. Total después sale que a partir de un \(n_{0}\) no te da \(0\) o con un sólo valor no te da.
En este caso componiendo con la curva \(\alpha(t)=(t,t^{n}-t)\) te queda:
$$\lim_{t\rightarrow 0} \frac{cos(t^{n}-t+t^{2})}{t^{n}}$$
Y aplicando L'H 2 veces:
$$=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-cos(t^{n}-t+t^{2})(nt^{n-1}+2t-1)^{2}}{n(n-1)t^{n-2}}$$
y ves que con \(n=2\) el \(t\) de abajo se hace \(1\) y te queda el \(-\frac{1}{2}\).
aca dejo una buena forma de sacarse el coseno de encima 😄
\(\frac{\cos(y + x^2)-1}{x+y} = \frac{(\cos(y + x^2)-1)}{(x+y)}\) \(\frac{(\cos(y + x^2)+1)}{(\cos(y + x^2)+1)}\)\(=\)\(\frac{\cos^2(y + x^2)-1}{x+y}\frac{1}{\cos(y + x^2)+1}\)\(= \frac{-\sin^2(y+x^2)}{(y+x^2)^2} \frac{1}{\cos(y + x^2)+1} \frac{(y+x^2)^2}{(x+y)}\) entonces el limite original se reduce a probar si da cero el siguiente limite: \(\lim_{X \rightarrow 0}\frac{(y+x^2)^2}{(x+y)}\) pues el resto tiende a un numero distinto de cero.
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
Muy buena esa también. Sale de una a ojo con la curva \(y=x^{2}-x\)
te queda:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}(2x-1)^{2}}{x^{2}}=1$$