De tanto estudiar y hacer ejercicios me empezó a gustar esto.
En agradecimiento a lo útil que me ha resultado este foro,
posteo a continuación recién salido del horno el parcial que se tomó hace 2 días.
(Acoto: primero voy a escribir los enunciados, en estos días voy a ir editando el post y subiendolos resueltos por falta de tiempo)
a) Hallar, si es posible \(\alpha \in \mathbb{R}\) de manera que F sea continua en (0, 0).
b) Para \(\alpha = 0\) determinar si existen las derivadas parciales de F en (0,0).
Voy a probar que no existe.
a) Me acerco primero por \(y = {x}^{2}-x\)
\(\lim_{(x, {x}^{2} - x) \rightarrow (0,0)} \frac{\cos(2{x}^{2}-x)-1}{{x}^{2}}\) esta indeterminado 0/0.
Como ahora estamos en una variable cambio el límite a x tendiendo a 0, y aplico L'Hospital
Como por ambos lados se tienen límites distintos, \(\alpha\) no existe.
b) Es muy sencillo verificar que existen las derivadas parciales en P=(0,0) con \(\alpha\) = 0
derivada parcial en X
\(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f((0,0)+t(1,0)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\cos({t}^{2})-1}{{t}^{2}}\) aplico L'Hospital como en el punto anterior
a) Analizar si G es contiuna en (0,1)
b) Hallar todos los v E R^2, ||v|| = 1 para los cuales dg/dv (0,1) exista.
c) Analizar si G es diferenciable en (0,1)
y como eso es distinto de 0, la función no es diferenciable en (0,1)
Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase C1 y \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
$$g(x,y) = f({e}^{{x}^{2}+y}, \sin(x,y))$$
Supongamos que el plano tangente al gráfico de F en el punto (1,0,F(1,0)) esta dado por z - 4x +2y = 1
a) Encontrar la dirección en la que la función z = f(x,y) crece más rápidamente en el punto (1,0).
b) Calcular el plano tangente al gráfico de la función G en el punto (0,0,g(0,0)).
Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\), C2 tal que
\(P(x,y) = 2 - 3(x-2) + y + 5(x-2)y - 4{y}^{2}\) es el polinomio de Taylor de orden 2 de F alrededor del (2,0).
Si \(h(x,y) = {x}^{2}{e}^{y} + f(x,y)(y+1)\), obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de h alrededor del (2,0).
Usas que si \(g\) fuera diferenciable, entonces podrías calcular las derivadas direccionales como:
$$\frac{\partial g (x_{0},y_{0})}{\partial v}=\langle \nabla g(x_{0},y_{0}), v \rangle$$
Entonces tomás un \(v=(1,0)\) que tiene norma unitaria.
El gradiente de \(g\) te da el \((0,0)\) si no me equivoco. Entonces la derivada direccional, asumiendo que \(g\) sea diferenciable te da \(0\), mientras que por definición te da \(3\)
$$3)$$
$$a)$$
Este es fácil. Tenés el plano tangenta a \(f\). Entonces tenes las derivadas parciales. La dirección de mayor crecimiento es siempre dada por el gradiente. Eso es todo. Si queres demostrar esto:
Primero antes que nada necesitas la hipótesis de que \(f\) sea diferenciable. Pero sabés que \(f\) es una función de clase \(C^{1}\). Entonces es diferenciable.
Luego usás que: \(\frac{\partial f}{\partial v}=\langle \nabla f , v \rangle=||\nabla f||\cdot {||v||}\cdot{ cos \theta} \leq ||\nabla f||\)
donde se usó que \(||v||=1\) (o a lo sumo dividís por su norma) y que \(cos \theta\leq 1\)
$$b)$$
\(g(0,0)=f(1,0)\)
Y luego regla de la cadena y es todo....
$$4)$$
Tenes el Taylor de \(f\), luego tenés las derivadas y el valor de la función en el punto.
Después es regla del producto nada más me parece...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Hola a todos... alguien me podria explicar como despejar el valor de las derivadas del polinomio... porque nunca hice algo así... en la practica se hizo solamente un ejercicio de taylor... y era calcular el error... y era medio facil...
No digo hacer todos los despejes y procedimientos.. aunque si alguno se anima bienvenido... pero al menos el procedimiento de obtener el valor de las derivadas primeras y segundas desde el polinomio de taylor...
