Tema
estudiar continuidad y diferenciabilidad en el origen de:
estoy medio olvidada con el tema de limites... si alguien me puede dar una mano se lo agradezco...
"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"
con este límite tmb tengo problemas....
estudiar continuidad en el origen de:
El segundo es casi exactamente igual a este.
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
inesi escribió:
estudiar continuidad y diferenciabilidad en el origen de:
$$f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy+{x^3}y}{{x^2}+|y|} &\textrm{ si }(x, y) \ne (0, 0) \\ 0 &\textrm{ si } (x, y) = (0, 0)\end{cases}$$estoy medio olvidada con el tema de limites... si alguien me puede dar una mano se lo agradezco...
Aca te dejo la demostracion de que es continua.
Tenes que para todo \(y \neq 0\) vale:
Si consideras el caso con \(y = 0\) es trivial ver que el limite es cero.
Entonces, por sandwich, \(|f(x, y)| \xrightarrow[(x, y) \to (0,0)]{} 0\). Eso implica \(f(x, y) \xrightarrow[(x, y) \to (0,0)]{} 0\).
En \(\star\), use la desigualdad triangular, y que si tenes una suma de dos terminos no negativos en el denominador, si sacas uno, te queda algo mayor o igual.
genial! muchas gracias a ambos!
Y como demuestran la diferenciabilidad del primero? no encuentro ninguna curva 🙄
Gracias!
lara escribió:
Y como demuestran la diferenciabilidad del primero? no encuentro ninguna curva 🙄
Gracias!
podes probar una aproximación por \(({t^2},{t^2})\)
\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy+{x^3}y}{({x^2}+|y|)(\sqrt{{x^2}+{y^2}})} =\) \(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{{t^2}{t^2}+{t^6}{t^2}} {({t^4}+{t^2}) \sqrt{{t^4}+{t^4}}} =\) \(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{{t^4}(1+{t^4)}} {({t^4}+{t^2})\sqrt{2{t^4}}} =\) \(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{{t^4}(1+{t^4)}} {{t^4}({t^2}+1)\sqrt{2}} =\)\(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{(1+{t^4)}} {(1+{t^2})} \longrightarrow \frac{1}\sqrt{2}\)
como \(\frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0\) que era lo que daba por \(({t},{0})\), la función no es diferenciable