Tema

Parcial 18/03/08

22 respuestas 26406 visitas 2008-10-10

#1 Carla 2008-10-10 03:15

A ver este otro, no se me ocurren los de este tipo...

Sea $F : \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$

f(x)=\begin{Bmatrix}{ \frac{x^2+e^xy^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}&\mbox{ si }& (x,y)\neq(0,0)\\a & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}

Determinar si existe algun valor de $a\in{\mathbb{R}}$ que haga que $f$ sea continua en $(0,0)$

#2 Yossarian 2008-10-10 03:30

Probá a multiplicar y dividir por $\sqrt{x^2 + y^2 +1} - 1$, a ver qué sale...

#3 Agustin 2008-10-10 04:05

Yossarian escribió:

Probá a multiplicar y dividir por $\sqrt{x^2 + y^2 +1} - 1$, a ver qué sale...

Con lo de Yossa, pero con un $+1$ 😛

( $\sqrt{x^2 + y^2 +1} + 1$ )

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Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box

#4 Carla 2008-10-10 04:23

Eso ya probe y no sale, va a mi no me sale...
Gracias por la ayuda igual
Saludos!

#5 Yossarian 2008-10-10 04:47

Agustín tiene razón :$. Otra... si tomás $\delta < 1$, entonces $|e^x| < 2$, por lo tanto $|x^2 + e^xy^2| \leq x^2 + 2 y^2$. Luego de hacer esa acotación, probá de hacer de nuevo lo de recionalizar el denominador [perdón por no escribir una solución completa, pero estoy medio muerto 😛]

Saludos!

#6 Erizo 2009-05-08 00:02

perdón, pero por que |e^x| < 2, no debería ser 3?

De todas formas no me da, de hecho, en la acotación se me cancelan todas las normas y me queda un número real :S.
Algún alma piadosa que escriba la respuesta por favor 😳

Saludos y gracias

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#7 Agustina 2009-05-08 02:03

Lo hicimos en la práctica, se supone que está bien, si hay algún error son bienvenidas las correcciones 😄

Tenés

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)} \frac{x^2+e^x y^2}{\sqrt[2]{x^2+y^2+1}-1}

Como dijeron, multiplicando y dividiendo por $\sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1$ va a quedar:

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)} \frac{(x^2+e^x y^2)\sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1}{x^2+y^2}

Es claro que $\lim_{(x,y)\rightarrow(00)} \sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1 = 2$

Entonces para demostrar que el límite es 2, como muestran todas las curvas por las que te acercás, te queda probar que

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{x^2+e^x y^2}{x^2+y^2} - 1 = 0

Sacando denominador común y operando tenés:

$\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{y^2}{x^2+y^2} (e^x-1) = 0$ y es igual a cero porque el primer término es acotado y el segundo tiende a 0. Cero por acotado tiende a cero.

Juntando todo, por álgebra de límites, el límite de la función tendiendo al origen es 2.

Espero que se entienda... Saludos!

#8 Frangipani 2009-05-08 02:14

siiiiiiiii, así es como había resuelto yo. Pero no me daba cuenta de que cuando me quedaba:

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{y^2}{x^2+y^2} (e^x-1)

podía decir que $e^x-1$ tendía a 0 y era un cero por 1 XD

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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

#9 inesi 2009-07-12 23:07

no entiendo como convierte esto:

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{x^2+e^x y^2}{x^2+y^2} - 1 = 0

en esto:

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{y^2}{x^2+y^2} (e^x-1) = 0

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"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"

#10 Mr. Satán 2009-07-13 00:43

Unió todo como fracción $-1=-\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$

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The End Of This Chapter...

#11 Erizo 2009-07-17 16:14

Una pregunta, no entiendo por que cuando se multiplica y divide por $\sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1$ no queda el +1 adentro. Digo, por que no queda así?

\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{(x^2+e^x y^2)(\sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1)}{x^2+y^2}

Pregunto porque a mi me había quedado así y se me complicó la existencia el ejercicio...

#12 Quimey 2009-07-17 16:36

Queda como vos decis, parece que se olvido un parentesis.
Pero el ejercicio esta hecho bien, lo del parentesis tiende a 2, asi que solo tenes que analizar el otro pedazo que en ambos casos es igual.

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Quimey

#13 rodrigopm 2009-12-27 23:04

En $\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{y^2}{x^2+y^2}%20(e^x-1)%20=%200$ no veo por qué dicen que esta acotada la parte $\frac{y^2}{x^2+y^2}$ HELP 😮

#14 jhughes 2009-12-27 23:38

Rodrigo, en el numerador y en el denominador tenes $y^2$ no? Y abajo a ese $y^2$ se le suma un $x^2$ que es positivo (clave), osea lo de abajo es mayor que lo de arriba, por ende está acotado por 1. Tenelo en cuenta porque es buenísimo para acotar.

#15 rodrigopm 2009-12-27 23:54

Posiblemente me equivoque con esto pero lo que vos decis no habria que mirarlo como saco factor comun $y^2$ entonces tengo $\frac{1}{{x^2}/{y^2}+1}}$ y en el denominador vuelvo a tener una indeterminacion (cociente de cosas que tienden a cero) y como no sé si eso da un numero o se va al infinito no me convencé que este acotado en 1. Si diera un numero lo estaria pero podria no dar ❓

#16 jhughes 2009-12-27 23:56

Y, si se va a infinito el cociente es 0, osea menor que 1.

#17 rodrigopm 2009-12-28 00:09

Ah ok, me asustan las indeterminaciones jajaja. Acá igualmente se sabe que eso se cumple mas allá de que no sepa como se comporta el cociente del denominador. Entendido. 😉

#18 jhughes 2009-12-28 00:12

Claro. Mi primer razonamiento que puse está bien igual, es válido. Como vos lo hiciste está bien, y pones que el mayor valor que puede tomar eso es con el menor valor del denominador, que seria cuando esa fraccion sea 0 (pensá que tiene que ser positiva, va de 0 a +inf los posibles valores), osea es 1 el máximo valor.

#19 blue 2010-05-11 06:40

Perdon por revivir esto, pero no entiendo en la resolucion, despues que dice que la raiz tiende a 2, aparece un -1 y se busca que lo que quedo tienda a 0.

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)}\frac{x^2+e^x y^2}{x^2+y^2} - 1 = 0

Gracias al que responda!

#20 jhughes 2010-05-11 16:07

blue, para probar que el límite ese es 1, le resta 1 y prueba que eso tiende a 0.

#21 blue 2010-05-12 04:42

jhughes escribió:

blue, para probar que el límite ese es 1, le resta 1 y prueba que eso tiende a 0.

No me queda claro para q quiere probar que es 1 😳

#22 jhughes 2010-05-12 05:01

Fijate que quieren probar que el límite es 2 (porque por curvas llegan a que es el candidato), entonces, cuando llega a esto:

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)} \frac{(x^2+e^x y^2)\sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1}{x^2+y^2}

Fijate que se podría reescribir así:

\lim_{(x,y)\rightarrow(00)} \frac{(x^2+e^x y^2)}{x^2+y^2} * \sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1}

El límite de $\sqrt[2]{x^2+y^2+1}+1}$ tendiendo al origen es 2 no? Entonces, si probás que el límite tendiendo al origen de $\frac{(x^2+e^x y^2)}{x^2+y^2}$ es 1, por álgebra de límites podes decir que el límite que querías probar, el de antes, es 2. De ahí sale lo de antes de restarle 1 (modulo de funcion menos el limite tiene que tender a 0).
Saludos

#23 blue 2010-05-12 09:09

Gracias, me habia salteado la linea:

"Entonces para demostrar que el límite es 2, como muestran todas las curvas por las que te acercás, te queda probar que..."

Ahora entendi todo!!

Gracias!!!