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Primer parcial 2do cuatri 2008.

6 respuestas 7158 visitas 2008-12-13

#1 Kuin 2008-12-13 22:49

Decidir si existen los siguientes limites. En caso afirmativo, demostrarlos.

\({\frac{5x^2(y-1)}{|y|x^2 + (y-1)^2}\) en \((0,1)\)

\({ \frac{sin(xy)}{y^2-x^2}\) en \((0,0)\)

Sigo sin saber los "trucos" para acotar o cuando quiero demostrar que no existe nunca encuentro contra ejemplos.

Gracias!

#2 exequiel131719 2008-12-13 23:18

Primero, tenés que tener una idea de quién puede ser el límite:
Para el primero, fijate que, si tomás los puntos \((0,y)\), tenés que la función se vuelve la función nula, con lo que cuando hacés \(y\rightarrow 1\), vas a obtener de límite \(0\). Entonces, esto te hace pensar que el límite es 0, o si puede no serlo. Sin embargo, notá que:

|\frac{5{x}^{2}(y-1)}{|y|{x}^{2}+{(y-1)}^{2}}|\leq |\frac{5{x}^{2}(y-1)}{|y|{x}^{2}}|\eq=\frac{5|y-1|}{|y|}

Pero notá que vos querés que \(||(x,y)-(0,1)||<\delta\), para algún delta. Como \(|y-1|,|x|<||(x,y-1)||<\delta\), se tiene: \(|y-1|<\delta \iff 1-\delta <y<1+\delta\). Tomando \(\delta <\frac{1}{2}\), tenés \(\frac{1}{2}<y<\frac{3}{2}\implies 2>\frac{1}{|y|}>\frac{2}{3}\). En definitiva:

\frac{5|y-1|}{|y|}<2\cdot 5\delta <\epsilon

O sea, tomando \(\delta <\frac{\epsilon}{10}\) andaría... si no fuera superior a 1/2. Luego, \(\delta < \min \{\frac{1}{2},\frac{\epsilon}{10}\}\), tenés la continuidad asegurada Con respecto al segundo, fijate que en los puntos de la forma \((x,0)\), la función se te anula, con lo que el límite dirías que es 0. Bueno, la clave reside en ver que como el polinomio \(xy\) pensándolo como solo en una variable tiene grado 2, y lo de abajo también, y sabés que \(\frac{\sin x}{x}\) cuando tendés al 0, se acerca al 1. Usá eso a tu favor. Tomá los puntos tales que \(y\eq=\frac{1}{2}x\), para obtener:

\frac{\sin (\frac{{x}^{2}}{2})}{-\frac{3{x}^{2}}{4}}

Y ahora ves que tomando \(x\rightarrow 0\), no vas a obtener por límite 0, sino \(-\frac{1}{3}\) o algo parecido. Sigue que el límite no es único, lo que es absurdo. Ergo el límite no existe. Bueno, espero haberte ayudado. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 Kuin 2008-12-13 23:33

Que velocidad ! muchas gracias! relamente me vino barbaro.
Solo una consultita.. en el primero, no se supone que una vez que acote, hago tender y-->1 y listo, el limite da 0. Porque deberia encontrar el epsilon?, si lo que hiciste es por una propiedad ya demostrada.

Gracias.

#4 exequiel131719 2008-12-14 04:12

Una mala costumbre mía... con eso que decís bastaba.

#5 inesi 2009-05-03 21:18

\frac{5{x}^{2}(y-1)}{|y|{x}^{2}}|\eq=\frac{|y-1|}{|y|}

en esa igualdad no hay un 5 q desaparecio? o yo no entiendo nada??

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"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"

#6 Frangipani 2009-05-03 21:32

si =P, pero lo que hizo exe sigue sirviendo, solo que ahora te quedaría \(10\delta<\varepsilon\) y entonces \(\delta\leq\{1/2,\varepsilon/10\}\)

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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
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#7 exequiel131719 2009-05-04 04:07

Perdón; hay arreglé esa indicación. Gracias por revisar. Saludos.