Este es de implícita...pero como paso la data que me dan a algo parecido a lo que quiere el TFImplícita?
$$\textrm{Dada $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ diferenciable, tal que $\frac{\partial{F}}{\partial{v}}(u,v) <0$ para todo $(u,v) \in \mathbb{R}^2$, definimos la curva $\sigma$ como el conjunto de soluciones del sistema}$$
$$\begin{cases} F(x+z, yz) = z \\ x + z^2 = 0\end{cases}$$
¿En que puntos de la curva \(\sigma\) pueden despejarse localmente las variables \(y\) y \(z\) en función de \(x\)?
Si \((4, y_0, 2)\) es un punto de \(\sigma\), decida si la variable \(z\) aumenta o disminuye a medida que aumenta \(x\) en un entorno de ese punto.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Justo me estaba fijando eso...pero si \(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), y la derivada direccional abajo tiene que ser un vector (osea v tiene que pertenecer a R^2), no le veo sentido a F(u,v)...porai se refiere a dos v's distintas? En cuyo caso, si siempre la derivada con v=(1, 0, 0) es no nula, puedo definir la \(\sigma\)...o algo así. :s
Podemos escribir la superficie de otra manera. Definimos \(G:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) como \(G(x,y,z)\eq=(F(x+z,yz)-z,x+{z}^{2})\) y nos queda la superficie \(S\eq=\{(x,y,z):G(x,y,z)\eq=(0,0)\}\). Para aplicar el teorema de la función implícita tenemos que calcular \(DG(x,y,z)\)(regla de la cadena usamos):
es no nulo. Como la derivada direccional siempre es no nula, se tiene que tal determinante será no nulo sii \(z\neq 0\). En estos puntos se podrá aplicar el teo de la función implícita... y ahi sigue el fin del ejercicio
b-Si no me equivoco \((4,{y}_{0},2)\notin \sigma\) pues \(4+{2}^{2}\eq=8\). Debería ir un - o algo por distinto. Aparte, no me cierra cómo me queda el determinante. Por la forma del b, debería quedarme en el determimante dependiente de y.
Es probable que haya hecho mal la cuenta de la diferencial. Saludos
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities