Esto se parece mucho a la expresión de diferenciabilidad de una función, donde \(c = f(X_0)\), y \(ax + by = \langle\nabla f(X_0), X - X_0\rangle\).
Si N es normal a f en (0, 0), significa que es normal al gráfico de f en (0, 0), osea al punto (0, 0, f(0, 0)). En particular, existe un \(\lambda\) tal que (0, 0, f(0, 0)) está en la recta.
Entonces sabemos que
Pero si \(-4\lambda + 4 = 0\), \(\lambda = 1\) y \(f(0, 0) = 2 + 3 = 5\).
Entonces ya tenemos \(c = 5\) (porque estamos yendo al (0, 0), no va a quedar nada raro en el producto escalar).
El plano tangente a \((0, 0, f(0, 0))\) con normal \(N\) lo podemos escribir así:
De despejar esto saco que el plano es \(z = 2x + 3y +5\). Pero como es diferenciable, es una buena aproximación de f en este punto, y el plano tangent se escribe como:
$$z = xf_x(0, 0) + yf_y(0, 0) + f(0, 0)$$
Entonces sabemos que \(f_x(0, 0) = 2\), y \(f_y(0, 0) = 3\).
Entonces ahora tenemos que \((a, b, c) = (2, 3, 5)\).
2) Calcular el siguiente límite:
Sé que f es diferenciable en (0, 0), a fortiori tiene que ser continua en (0, 0). Si es continua, y se su valor en (0, 0), entonces se acerca a ese valor cuanto mas cerca esté del (0, 0). En otras palabras, \(0 < ||(x, y)|| < \delta_f \Rightarrow |f(x,y) - 5| < \epsilon_f\)
Pero como incorporo esto para 1) estimar a que tiene el límite (siguiendo una curva simple como y=0 o algo así), y 2) probarlo bién el límite? Me suena a que en alguna parte voy a invocar a \(\delta_f\) como delta auxiliar...pero ni se como darme una idea a lo que tiende el límite...me parece que a 0...pero no sé como probarlo por un camino/curva en particular :s
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Ahora queremos saber a cuánto tiende la expresión que nos quedó.
Por la parte \(2\) del ejercicio, sabemos que \(\frac{f(x,y)-5-2x-3y}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}\) tiende a \(0\)
Por otra parte, quiero poder acotar \(\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}\) (para que me quede \(0\) por acotado)