#1 ragatsi 2009-08-11 17:27 $$\textrm{Sea $g$ $: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ la funcion dada por $g(x,y,z)=(xy(z+1)+sen(z),y^3+z,ze^{xy-2})$. Sea P=(1,2,0) y $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ una}$$
$$\textrm{funcion de clase $C^1$ en un entorno de $g(P)$ que satisface que $(f\circ g)(x,y,z)=-cos(x-1)+2y^2+z^3$ en un entorno de P. }$$
$$\textrm{Sea S una superficie de nivel de la funcion $f$ tal que $g(P)$ $\in$ S. Encontrar la ecuacion del plano tangente a la superficie S }$$
$$\textrm{en el punto $g(P)$}$$
Quiero que me digan que hice mal!:
\(g(1,2,0)=(2,8,0)\)
$$f(2,8,0)=7$$
$$D(f\circ g) . Dg= (sen(x-1),4y,3z^2)_{\vert_{(1,2,0)}}.\left(\begin{matrix} y(z+1) & x(z+1) & xy+coz(z) \\ \\ & & &\\ 0 & 3y^2 & 1 \\ \\ & & &\\ \displaystyleyz e^{xy-2} & \displaystyle xze^{xy-2} & \displaystyle e^{xy-2} \end{matrix}\right)_{\vert_{(1,2,0)}}$$
$$= (0,8,0)\left(\begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right) =(0,96,8)$$
\(\textrm{RTA: Plano tg: $w= 7$ + $0 (x-1)$ + $96(y-2)$ + $8(z-0)$}\)
Gracias Fedor
Editado 5 veces.
#2 fedor 2009-08-11 17:45
ragatsi escribió:
\(f(2,8,0)=-cos(1)+128\)
Eso esta mal, te confundiste \(f\) con \(f \circ g\). \(f(2, 8, 0) = 7\). El desarrollo es:
$$(f\circ g)(1,2,0)= f(g(1,2,0)) = f(2, 8, 0) \stackrel{\star}{=} -cos(1-1)+2 \cdot 2^2+0^3 = -cos(0) + 8 + 0 = 7$$
En \(\star\) use la definicion que te dan de \(f \circ g\).
#3 ragatsi 2009-08-11 17:48 detalleeeee 😄
#4 fedor 2009-08-11 18:00 El error grave es que no tiene sentido la multiplicacion que planteaste. La regla de la cadena te dice que \(D_{(f o g)}(P) = D_f(g(P)) \cdot D_g(P)\). Si queres despejar \(D_f(g(P))\) de la ecuacion, tenes que multiplicar por derecha por la inversa de \(D_g(P)\) en ambos lados de la igualdad.
#5 ragatsi 2009-08-11 19:09 Entonces en lo que le pifie es en el reemplazo de (x,y,z), que tendria que haberlo hecho siempre por (1,2,0)
#6 fedor 2009-08-11 20:05
ragatsi escribió:
Entonces en lo que le pifie es en el reemplazo de (x,y,z), que tendria que haberlo hecho siempre por (1,2,0)
A ver si me explico. Vos queres saber \(Df(g(P))\) para hallar el plano tangente a una superficie de nivel de \(f\) en el punto \(g(P)\).
En tu solucion, para hallar \(Df(g(P))\), planteaste la ecuacion \(Df(g(P)) = D{(f o g)}(P) \cdot Dg(P)\). Eso esta mal.
Deberias haber planteado \(D{(f o g)}(P) = Df(g(P)) \cdot Dg(P)\) y de ahi despejar \(Df(g(P))\), multiplicando por la inversa de \(Dg(P)\).
#7 ragatsi 2009-08-11 20:31 Osea que ademas tengo que encontrar la matriz inversa? Osea que basicamente esta todo mal? UFFFFFFFF ❗
Bue en realidad no es tan terrible lo que me falta hacer, sino el hecho de que no me di cuenta....
Yo hice esto:
$${D(f o g)}_P = {Df}_{g(P)} . Dg_P$$
Entonces tengo
$$(\sin(x-1), 4y, 3z^2)_P = {Df}_{g(P)} . \begin{pmatrix}y(z+1) & x(z+1) & xy + cos(z) \\ 0 & 3y^2 & 1 \\ zye^{xy-2} & xze^{xy-2} & e^{xy-2} \end{pmatrix}_{P}$$
Evaluando...
$$(0, 8, 0) = Df_{g(P)} . \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 12 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Resuelvo el sistema...
$$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(g(P)) . 2 = 0 \iff \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(g(P)) = 0$$
$$\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(g(P)) . 12 = 8 \iff \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(g(P)) = \frac{2}{3}$$
$$\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(g(P)) = -\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(g(P))$$
Entonces el plano me va a quedar de esta forma...
$$f(g(P)) + \langle Df_{g(P)}, (x,y,z) - (g(P)) \rangle$$
Osea
$$-1+8 + 0(x - 2) + \frac{2}{3}(y - 8) - \frac{2}{3}(z - 0)$$
\(7 + 0(x - 2) + \frac{2}{3}(y - 8) - \frac{2}{3}(z)\)
Tiene sentido?
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
#9 rodrigopm 2009-12-26 22:29 No entiendo porque esto: \(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(g(P))%20=%20-\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(g(P))\)
¿Tambien se podria acá
$$(0,%208,%200)%20=%20Df_{g(P)}%20.%20\begin{pmatrix}%202%20&%201%20&%203%20\%200%20&%2012%20&%201%20\%200%20&%200%20&%201%20\end{pmatrix}$$
multiplicar por la inversa a ambos lados como alternativa a resolver el sistema, no?
Porque si \(\frac{\partial f}{\partial x}(g(P)) = 0\), entonces la multiplicación que me dice el lado derecho es que \(3\frac{\partial f}{\partial x}(g(P)) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(P)) + \frac{\partial f}{\partial z}(g(P)) = 0\) significa que \(\frac{\partial f}{\partial y}(g(P)) + \frac{\partial f}{\partial z}(g(P)) = 0\), entonces \(\frac{\partial f}{\partial y}(g(P)) = -\frac{\partial f}{\partial z}(g(P))\). Igual revisá si tiene sentido, hace meses que no hago análisis 🙂