Y esto, cuando \(x > 0\) es distinto que cuando \(x < 0\), y en ningún caso es 0.
Entonces la función no es diferenciable en el origen.
b)
Como me dicen que \(||v|| = 1\), mi primer instinto fué "chau, esto me lo dicen para usar \(\langle \nabla f(0, 0), v\rangle\) que vale con \(||v||=1\), pero f tendría que ser diferenciable en el punto para esto, entonces tengo mal el a).
Pero bueno, resulta que no. Checkeamos una vez mas que no es diferenciable, y hacemos esto a la antigua:
\(\lim_{t \to 0} \frac{f\left(t\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) - f(0, 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\frac{t}{\sqrt{2}}\cdot \frac{t^2}{2}}{\frac{t^2}{2}+ \frac{t^4}{4}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{ \frac{t^3}{2\sqrt{2}} }{ \frac{2t^3 + t^5}{4} } = \lim_{t\to 0} \frac{t^3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{t^3(2 + t^2)} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{\sqrt{2}(2 + t^2)} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Y listo.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Yo lo hice igual y me dio el mismo resultado, aunque tomé la curva \(y^2 = x\) y el límte me dio \(\frac{1}{2}\) que no es cero, luego no es continua
Saludos
Me dio lo mismo. En el a) demostre que no es diferenciable estudiando continuidad acercandome por la curva \(\sigma(t) = (t^2, t)\).
Una correccion. Si f es diferenciable en \((0, 0)\), entonces \(\frac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = \langle \nabla f(0, 0), v\rangle\) vale para cualquier vector, no hace falta que la norma sea 1. Se suele pedir que la norma sea 1 para calcular derivadas direccionales, porque en la teorica se definio asi.
Ya que estamos hablando de este examen, aprovecho para hablar de los otros ejercicios.
\(\bullet\)En el 1) la funcion era continua. Salia multiplicando y diviendo por \(x^4 + y^4\). En definitiva acote a \(f\) por \(3 \dfrac{(e^{x^4 + y^4} - 1)}{(x^4 + y^4)} \dfrac{2 {\|(x,y)\|}^4}{{\|(x,y)\|}^2}\), que tiende a cero.
\(\bullet\)En el 3) use el teorema de la funcion inversa. Habia que hallar la inversa del diferencial de la funcion que daban como sugerencia.
\(\bullet\)El 4) salia directamente con el teorema del valor medio.
\(\bullet\)En el 5) exprese la funcion \(G\) como \(H \circ T\) donde \(T(u, v, w) = (f(v, u), f(w, u))\) y \(H(x, y) = (x + y)^2\). Asi podias calcular el gradiente de \(G\) con la regla de la cadena, que es normal al plano tangente que pedian.
