Sea \(F : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\) una función \(C^1\) tal que \(F(2,-1,1) = 0\) y \(\triangledown F(2,-1,1) = (3,0,-1).\)
a) Mostrar que \(F(x,y,z)=0\) define implícitamente una función \(z= f(x,y)\) en un entorno del \((2,-1,1)\).
b) Hallar, si existen, todos los vectores \(v\) tal que la derivada direccional de \(f\) en la dirección de \(v\) en \((2,-1)\) sea \(3\).
a) para que se defina \(z = f(x,y)\) necesito:
\(\bullet \; F(2,-1,1) = 0\) (se cumple por hipótesis)
\(\bullet \; F \in C^1\) (se cumple por hipótesis)
\(\bullet \; \frac {\partial f}{\partial z} (2,-1,1) \neq 0\) en el enunciado dice que \(( \triangledown F (2,-1,1) = (3,0,-1) \Rightarrow \frac {\partial F}{\partial z} (2,-1,1) =-1\)
b) Por el teorema de la función implícita, \(f \in C^1 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial v}(2,-1) = \triangledown f (2,-1) \cdot \vec{v}\)
Quiero las derivadas parciales de f. Por el teorema del a fucnión implícita,
\(\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(2,-1,1)}{\frac{\partial F}{\partial z}(2,-1,1)}= 3\) (por el enunciado, \(\triangledown F (2,-1,1) = (3,0,-1)\) )
Con estos datos, \(\triangledown f(2,-1) = (3,0)\)
Quiero que \((3,0) \cdot \vec{v} = 3\)
Entonces \(3v_1 = 3\)
\(v_1 = 1\) y \(v_2=0\) porque \(v\) debe ser unitario para usar esta identidad.
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