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Tema

[A corregir] s.p. analisis I 11-07-05 T1

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#1 Erizo

Dada la función \(f(x,y,z) = a.e^{x^2 + y^2}\sin(x)\cos(z-1) + b^2y + b(z-3)^2\) , encontrar todos los \(a,b \in \mathbb{R}\) tales que el plano tangente a la superficie de nivel \(f(x,y,z) = 4b\) en \((0,0,1)\) es paralelo al plano de ecuación \(x + 4y + 8z = 0\)
Para los valores hallados dar la ecuación del plano tangente.
\(f (0,0,1) = 4b\) (esto muestra que pertenece a la superficie de nivel)
Quiero, por empezar, que \({a,b \in \mathbb{R} / \bigtriangledown f(0,0,1) = (1,4,8)}\) que es la normal del plano (y de ahí espero sacar algo...) \(\color{red}{(1)}\)

por definición (no pienso derivar esa cosa por regiltas),

$$\frac {\partial f}{\partial x}(0,0,1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f (h,0,1) - f (0,0,1)}{h} = a$$
$$\frac {\partial f}{\partial y}(0,0,1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f (0,h,1) - f (0,0,1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {b^2.h + b(-2)^2 - 4b}{h} =b^2$$
$$\frac {\partial f}{\partial z}(0,0,1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f (0,0,1 + h) - f (0,0,1)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac {b(-2 + h)^2 - 4b}{h} = -4b$$

Ahora, por \(\color{red}{(1)}\),

$$1 = a \; \Rightarrow \;$$
$$4 = b^2 \; \Rightarrow \; |b| = 2$$
$$8 = -4b \; \Rightarrow \; b=-2$$

Entonces la función, con los a,b hallados me queda

$$f(x,y,z) = e^{x^2 + y^2}\sin(x)\cos(z-1) + 4y - 2(z-3)^2$$

y el plano tangente a la superficie de nivel debería ser.

$$(1,4,8) \cdot (x, y, z-1) = 0$$
o sea. \(x + 4y +8z = 8\)
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#2 fedor

Que \(\bigtriangledown f(0,0,1)\) sea paralelo a \((1, 4, 8)\) no implica que sean iguales.

La ecuacion deberia ser \(\bigtriangledown f(0,0,1) = \lambda (1,4,8)\) con \(\lambda \neq 0\).

De todas formas, te queda el sistema

$$\begin{cases}a = \lambda\\b^2 = 4 \lambda\\-4b = 8\lambda\end{cases}$$

que tiene la misma soluci'on (lambda tiene que ser 1).

#3 Erizo

Pero yo no planteo que \(\tringledown f(0,0,1) = (1,4,8)\)?
No entiendo por que con esto no basta, si yo digo que el gradiente sea exactamente igual a la dirección dada. No entiendo por que es necesario poner un múltiplo de ella en este caso...

#4 fedor

Si para otros valores de a y b, el gradiente de la funcion en ese punto fuera \((2, 8, 16)\) entonces tambien serian solucion. Tu condicion no te garantiza que vayas a encontrar TODOS los a y b que cumplan lo pedido.

#5 fedor

Te doy un ejemplo. Si la funcion fuera:

$$f(x,y,z) = a.e^{x^2 + y^2}\sin(x)\cos(z-1) -2b y + b(z-3)^2$$

Entonces el gradiente te queda \((a, -2b, -4b)\)

Segun tu planteo, \(a\) tiene que valer 1. Pero si tomas \(a = 2\) y \(b = -4\) te queda \((2, 8, 16)\) que tambien es paralelo a la normal. De hecho, habria infinitas soluciones en este caso.

#6 Erizo

Ah, ok. La gracia entonces es que el gradiente debe ser paralelo a la normal o a un múltiplo de la normal, dado que tiene la misma dirección. Entonces cuando igualo, pongo una variable para contemplar todos lo casos. ¿le estoy pifiando o es así?

#7 fedor

Erizo escribió:

La gracia entonces es que el gradiente debe ser paralelo a la normal o a un múltiplo de la normal, dado que tiene la misma dirección.

Algo asi, pero lo dijiste de una forma muy extraña. 🙂

Las proposiciones: "ser paralelo a la normal" y "ser paralelo a un multiplo de la normal" son equivalentes. Acordate la definicion de vectores paralelos de Algebra del CBC: dos vectores V y W son paralelos si y solo si V es un multiplo de W. En otras palabras:

$$V \parallel W \iff \exists \, \lambda \in \mathbb{R} \text{ tal que } V = \lambda W$$

En este caso, como el vector que buscas no puede ser nulo (si no, no seria la normal de un plano), pedis que lambda sea distinto de cero.

En tu solucion, cambiaste "ser paralelo a" (que dice el enunciado) por "ser igual a" que son dos cosas distintas.