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Sea \(f(x,y)= G (xe^{1-(x^2+y^2)} -1 , y^2 + 3x + 1)\) siendo \(G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) una función \(C^1\). Calcular \(\bigtriangledown f\) en términos de las derivadas de\(G\). Si \(\bigtriangledown f|_{(2,1)} = (4,6)\) hallar \(\frac{\partial G}{\partial v}|_{(1,8)}\) para \(v = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\left)\)
¿Y esto?
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Cadena 🙂
\(D(G \circ F)(x,y) = DG(F(x,y)) \cdot DF(x,y)\).
Ahora. Si tenemos \(f(x,y)= G (xe^{1-(x^2+y^2)} -1 , y^2 + 3x + 1)\), podemos considerar la función \(F(x,y) = (xe^{1-(x^2+y^2)} -1 , y^2 + 3x + 1)\). Entonces tenemos \(f(x,y) = G(F(x,y)) = (G \circ F)(x,y)\).
Cadeneando..
\(Df(x,y) = D(G\circ F)(x,y) = DG(F(x,y)) \cdot DF(x,y)\).
Sabemos que \(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), entonces \(DF \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\).
Entonces el gradiante de f va a ser
Un asco, básicamente.
Para la segunda parte, me quedo un poco trabado (creo que hay que usar que \({f:R^n \to R^m C^1, g: R^k \to R^n C^1 \Rightarrow \forall\ w \in R^k,\ X \in R^k,\ \frac{\partial{(f \circ g)}(X)}{\partial{w}} = \langle\nabla (f \circ g)(X), w\rangle}\)) porque no me dan nada lindos los números, aunque tranquilamente puedo haber tenido un error de cuentas hasta acá, es bastante feo lo que está quedando jaja...igual fijate si tiene sentido lo que estoy diciendo. 🙂
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Ok, pero eso depende de G. Lo tengo que dejar así y ya?.
Yo esperaba encontrar las derivadas parciales dependiendo solo de x y de y que mágicamente la G se vaya por alguna cosa rara de esas que nos tienen acostumbrados 😛
Muchas gracias por todo 🙂
te queda asi, mira el enunciado:
Calcular \(\bigtriangledown\) f en términos de las derivadas de G
Quimey