#1 Erizo 2009-07-27 22:33 (¿Se nota que los límites no son lo mío no?)
Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
$$f(x,y)=\begin{Bmatrix}\frac{|x + y| + y^2}{|x+y| + |y|} & si\; (x,y)\neq (0,0) \\1 & si\; (x,y)= 0\end{matrix}$$
Hallar todos los vectores unitarios \(v=(v_1,v_2)\) para los cuales exista la derivada direccional de \(f\) en la dirección de \(v\) en el punto \((0,0)\)\(\)
Lo que se me ocurrió es sacar la derivada direccional por definición, pero me queda que no existe para ninguna dirección. Seguro le estoy pifiando en algo, paso lo que se me ocurrió (que seguro está mal)
$$\frac{\partial f}{\partial v}(0,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ((0,0) + h(v_1,v_2)) - f(0,0)}{h}=$$
$$\large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|hv_1 + hv_2| + (hv_2)^2 - (|hv_1 + hv_2| + |hv_2|)}{|hv_1 + hv_2| + |hv_2|}}{h}=$$
Pregunta: ¿Puedo sacar factor común \(|hv_2|\), o sea.
$$\large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|hv_2| (|hv_2| - 1) }{|h| (|v_1 + v_2| + |v_2|)}}{h}= \large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|v_2| (|hv_2| - 1) }{(|v_1 + v_2| + |v_2|)}}{h}$$
El tema es que acá queda indefenido el límite. La única solución es que \(v_2 = 0\) para que el numerador sea \(0\) y \(\frac{\partial f}{\partial v} (0,0) = 0\)
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Editado 5 veces.
#2 Mr. Satán 2009-07-28 01:48 Creo que está bien, te falta que \(||v||=1\)
y de ahí despejas \(v_{1}\)
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The End Of This Chapter...
#3 Erizo 2009-07-31 16:54 Ahí lo terminé y le puse resuelto...
Pregunta, \((-1, 0)\) no sería también solución?
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Por qué los poetas usan integrales?
#5 Erizo 2009-08-01 21:56 si.... siento uqe va a pasar algo así en el recuperatorio... es como gambetearte hasta al arquero y tirarla afuera...
Erizo escribió:
$$\large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|hv_1 + hv_2| + (hv_2)^2 - (|hv_1 + hv_2| + |hv_2|)}{|hv_1 + hv_2| + |hv_2|}}{h}=$$
Pregunta: ¿Puedo sacar factor común \(|hv_2|\), o sea.
$$\large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|hv_2| (|hv_2| - 1) }{|h| (|v_1 + v_2| + |v_2|)}}{h}= \large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|v_2| (|hv_2| - 1) }{(|v_1 + v_2| + |v_2|)}}{h}$$
No me queda claro a donde va el \((hv_2)^2\). Al final se puede tomar factor comun el |hv_2|?
#7 KillSchrodingerCat 2010-05-11 18:34
blue escribió:
Erizo escribió:
\(\large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|hv_1 + hv_2| + (hv_2)^2 - (|hv_1 + hv_2| + |hv_2|)}{|hv_1 + hv_2| + |hv_2|}}{h}=\) 1
Pregunta: ¿Puedo sacar factor común \(|hv_2|\), o sea.
$$\large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|hv_2| (|hv_2| - 1) }{|h| (|v_1 + v_2| + |v_2|)}}{h}= \large \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|v_2| (|hv_2| - 1) }{(|v_1 + v_2| + |v_2|)}}{h}$$
No me queda claro a donde va el \((hv_2)^2\). Al final se puede tomar factor comun el |hv_2|?
Fijate que en 1 tenes sumando y restando \(|hv_1 + hv_2|\) por lo que se te va entonces te queda:
$$(hv_2)^2 - |hv_2|$$
pero \((hv_2)^2=|hv_2|\cdot{|hv_2|}\)
Reemplazando:
$$|hv_2|\cdot{|hv_2|} - |hv_2|$$
Entonces sacas factor común \(|hv_2|\) y listo...
Saludos...
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Gracias... soy un pescado 😢
