Tema

[Resuelto]15/7/03 Tema 3 ej 1

4 respuestas 4621 visitas 2009-07-24

#1 Erizo 2009-07-24 22:00

Mil disculpas que en 2 o 3 días haya pedido ayuda 3 veces ya, pero por algún motivo estas cosas siguen sin salir, en especial las de este estilo..

Sea\; f: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\; una\, funcion\, de \, clase\, C^2 \,tal\, que\, \bigtriangledown f(1,1)=(2,7).

Sea \;g: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \;definida \,como\, g(x,y) = f(\cos(x-y),\sin(x+y)).

Calcular \,\frac{\partial^2g}{\partial x \partial y}(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})}

Bueno, la verdad, no se por donde empezar. Intenté hacer regla de la cadena paro no llegué a nada. Ya empiezo a creer que no entiendo como se hace 😎...
Un saludo y desde ya muchas gracias

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Editado 2 veces.

#2 FJL 2009-07-25 00:32

Te hago una pregunta, es \(f(1,1) = (2,7)\)? Y Entonces las dos funciones son \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)?

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

#3 Erizo 2009-07-25 00:37

Uy, perdón, es el gradiente, ahora lo corrijo.

#4 FJL 2009-07-25 01:46

Ahh ok, sino yo también no tenía la mas mínima idea jaja
OK, creo que va así:

(Argh, había escrito todo para sacar las primeras derivadas, soy un gil xD)

Suponemos una función \(h(x, y) = (\cos(x-y), \sin(x-y))\), entonces \(h: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\).
Entonces tenemos que \(g(x,y) = f(h(x,y)) = (f \circ h)(x,y)\).
Lo que nos dice la regla de la cadena es que:
\(Dg(x,y) = D(f \circ h)(x,y) = <Df(h(x,y)), Dh(x,y)>\). (Uso <a,b> para multiplicacion de matrices)
Entonces, planteemos...

Df(x,y) = \nabla f(x,y) = (f_x(x,y), f_y(x,y))

Dh(x,y) = \begin{pmatrix} -\sin(x-y) & \sin(x - y) \\ \cos(x+y) & \cos(x+y) \end{pmatrix}

Juntando esto, tenemos que

D(f \circ h) = <\nabla f(h(x,y)), \begin{pmatrix} -\sin(x-y) & \sin(x - y) \\ \cos(x+y) & \cos(x+y) \end{pmatrix}> =

{= (f_x(h(x,y)).(-\sin(x-y)) + f_y(h(x,y)).\cos(x+y), f_x(h(x,y)).\sin(x-y) + f_y(h(x,y)).\cos(x+y)) =}

\(= \nabla g(x,y) = (\frac{\partial{g}(x,y)}{\partial{x}}, \frac{\partial{g}(x,y)}{\partial{y}})\).

Y sabés que \(g_{xy} = {(g_x)}_y\). Entonces \(g_{xy} = {(f_x(h(x,y)).(-\sin(x-y)) + f_y(h(x,y)).\cos(x+y))}_y =\)

{f_{xy}(h(x,y)) . h_y(x,y) . (-\sin(x-y)) + f_x(h(x,y)).\cos(x-y) + f_{yy}(h(x,y)).h_y(x,y).\cos(x+y) + f_y(h(x,y)).(-\sin(x+y))}

Que lindo, no?
Bueno, pero ahí nos quedó. La onda es que muchos de estos se van cuando evaluamos en \((\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})\), quedando...
\(g_{xy}(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}) = f_x(h(x,y)) - f_y(h(x,y)) = f_x(1,1) - f_y(1,1) = -5\), y listo.

Igual fijate si tiene sentido para vos, puedo estar delirando tranquilamente.

EDIT: Arreglo notación, tengo que dejar de usar <a,b> para definir vectores Y productos de vectores...

#5 Erizo 2009-07-25 02:56

Si, yo pensé que iba por ese lado pero después no me animé a seguirlo. Cuando me empezaron a quedar segundas derivadas me dije "no javi, dejá de mentirte, tenés menos regla de la cadena que un psicólogo" y bueno.. Abdiqué :p
Muchas gracias. Un saludo