Hola!, estaba teniendo problemas con este ejercicio. La parte a)creo que salió (si no me olvidé de chequear nada). La parte b) no tengo idea como encararlo.. Bah, supongo que tiene algo que ver con la regla de la cadena sobre \(\varphi\), pero no se exactamente como aplicar eso.
Sean \(\varphi: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) de clase \(C^1\), tal que
\(\bigtriangledown\varphi(x,y)\bullet(x,y)\neq0\) y \(G:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \(G(x,y,z)=\varphi(xz,yz)\)
a) Probar que la ecuación G(x,y,z) = 0 define en forma implícita una función \(z=f(x,y)\) en algún entorno de \((x_0,y_0)\neq(0,0)\)
b) Verificar que f satisface:
Lo que se me ocurrió es esto:
Yo se que \(G(x,y,z) = \varphi (xz,yz) \Rightarrow \bigtriangledown G(x,y,z)=\bigtriangledown\varphi(xz,yz)\)
Llamo
u= xz
v= yz
Entonces por hipótesis, como \(\bigtriangledown\varphi(x,y)\bullet(x,y)\neq0\), al menos una derivada parcial de \(\varphi\neq0\).
Con el cambio de variable digo que \(\bigtriangledown\varphi(u,v)\bullet(u,v)\neq0\)
Bueno:
\(\bullet\) G es de clase \(C^1\) (\(\varphi\) lo es)
\(\bullet\) \(\bigtriangledown G(x,y,z) \neq (0,0,0)\)
(tengo que probar algo más)
Entonces existe \(f(x,y)\) tal que \(G(x,y,f(x,y))=0\) en un entorne \((x_0,y_0)\neq(0,0)\)
Hasta acá llegué, me falta el punto b). Alguna idea?
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