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Tema

[Resuelto] 16/7/05 Ej 1

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#1 Erizo

Hola, vi este ejercicio el otro día y quería saber si estaba bien.

$$f(x,y)=\begin{Bmatrix}xy\sin(\frac{1}{y}) & si\; y\neq0 \\x & si\; y= 0\end{matrix}$$

a) Estudiar la difrenciabilidad de f.
b) Hallar todas las derivadas direccionales en (0,0)

a) Quisiera ver la continuidad en los puntos (x,0) que es donde se parte la función...
Para que sea continua,

$$\lim_{y\rightarrow 0} xy\sin(\frac{1}{y}) = f(x,0)$$

Pero \(\lim_{y\rightarrow 0} xy\sin(\frac{1}{y})= 0\)

Entonces f es continua en (0,0), en \((x,y)/\; y\neq0\)

Para que sea diferenciable en (0,0), entonces

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x,y) - f(a,b) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) -\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{||x,y||}$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = 0$$
$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x,y) - 0 - 0 -0}{||(x,y)||}=$$
$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{ xy\sin(\frac{1}{y})}{||(x,y)||}$$

A ver si me sale acotar que soy un queso para estoy 😛

$$|\frac{ xy\sin(\frac{1}{y})}{||(x,y)||}| \leq \frac{||(x,y)||^2 \sin(\frac{1}{y})}{||x,y||}=$$
$$||(x,y)||\sin(\frac{1}{y}) \leq ||(x,y)||< \epsilon$$
Tomo \(\delta =\epsilon\) Entonces es diferenciable en (0,0)

Además, en los puntos donde \(y\neq 0\), la función es diferenciable.

b) Como f es diferenciable en (0,0), para cualquier dirección, existen las derivadas direccionales.
Acá viene la pregunta... Si me ponen "hallar todas las derivadas direccionales", ¿no debería poner la ecuación del plano tangente? Eso es lo que me falta.

Eso es todo. Muchas gracias

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#2 Maxtwo

Fijate que la derivada parcial con respecto a x en (0,0) es 1, no 0. Ya que te va a quedar la funcion definida en y=0, que es X,sobre X, que te da 1.

Cuando te piden todas las derivadas direccionales, supongo que se refieren a que tenes que calcular la derivada direccion con un vector generico.
Es decir, tenes que calcular el:

$$\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{f(ta,tb)-f(0,0)}{t}$$

Estas tomando el punto \((0,0)+t (a,b)\) la direccion (a,b)

#3 Erizo

Tenés razón... Ergo no es diferenciable porque ese 1 no me lo saco más de encima...
Ahora, en el supuesto caso que lo sea, mantengo la pregunta. ¿Que hago? Si tengo que poner "todas las derivadas direccionales" ¿?¿?¿?. Pongo la ec del plano tangente?.

La resolución que propuso maxtwo, a ver si alguien me ayuda por favor 🙂 .

Sea \(v=(x_0,y_0)\), ||v||=1

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f((0,0)+hv)) - f(0,0)}{h}$$
$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hv) - 0}{h}$$
$$\Rightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hv)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hx_0,hy_0)}{h}=$$
\(=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^2x_0y_0\sin(\frac{1}{hy_0})}{h}\)... Pero esto se va a 0 para todo x,y...

Entonces es como que para cualquier dirección vale o yo me estoy mandando el mocaso de mi vida... Siento que le estoy pifiando muy mal...

#4 Maxtwo
$$\Rightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hv)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hx_0,hy_0)}{h}=$$
a partir de ahi tenes que tener cuidado, deberias hacer el caso donde \(y_0\neq 0\) y cuando \(y_0=0\) ya que cuando pasas a:
$$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^2x_0y_0\sin(\frac{1}{hy_0})}{h}$$
estas asumiendo que \(y_0\neq 0\)
#5 Erizo

Esto está bien?. No me convence la conclusión.

$$y\neq0$$
$$\lim_{h \rightarrow 0}hx_0y_0\sin(\frac{1}{hy_0}=0$$

y=0

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f (hx_0,0) - 0}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{hx_0}{h}=x_0$$

¿¿¿¿¿¿¿¿¿Entonces la respuesta sería😕???????

$$"si\, y= 0 \,\Rightarrow \,x_0=0,\, si\, y\neq0\, \Rightarrow\, todo \,x \,real\, sirve"$$
#6 Maxtwo

La conclusión seria de la onda:
Todas las derivadas direccionales existen, las que son sobre el eje x, toman el mismo valor que el modulo del vector utilizado y las demas son 0.
Y ademas, se ve claro, que por más que existan todas las derivadas direccionales, la función no es diferenciable.

#7 fedor

En realidad no es la norma del vector utilizado, porque si tomas \(v = (-1, 0)\) te queda \(\dfrac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = -1\). Por otro lado, creo que en la teorica solo definieron derivada direccional de un vector de norma 1. En ese caso la respuesta seria simplemente:

$$\bullet v = (1, 0) \Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = 1$$
$$\bullet v = (-1, 0) \Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = -1$$
$$\bullet \text{Para cualquier otro $v$ tal que $\| v \| = 1$} \Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = 0$$
#8 lara

como hiciste para ver que no era diferenciable? a mi no me da, me da 0 🙄