Por favor, ¡ayúdenme antes del sábado que me re quedaron estas dudas y cositas que no pude resolver!
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Estudie continuidad y diferenciabilidad en (0,0)
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Estudiar la diferenciabilidad de f (x,y) en (0,0).
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Sea f:R2-R diferenciable tal que N : (X,Y,Z) = landa+(4,6,3) es la recta normal a f en (0,0). Me piden:
A.Hallar a, b, c pertenecientes a R tal que
B.Calcular el siguiente límite
Dada la recta N: (x,y,z) = t(1,2,-1) + (4,-1,2) y la superficie S: x^2 + xy + yz + 9 = 0 halle los puntos de S tal que N sea la recta normal a la superficie.
Sea f(x,y) tal que el gradiente de f(x,y) = (e^(x^2); e^(y^2)). Probar que f(x,y) <= f(1,1) para todo (x,y) perteneciente a [0,1] x [0,1].
*Y lo último, este ejercicio:
Lo primero lo hize, sacar el gradiente, no sabía cómo sacar el crecimiento en esa dirección (¿la norma del gradiente tal vez?) y tampoco el segundo punto, cómo saber si f crece o decrece cuando se acerca desde el (2,1) al (-1,1)
¡Gracias por favor si lo pueden contestar mañana lo agradeceré mucho!
despues voy a intentar ayudar y a hacer los ejercicios (ahora no q es mi cumple y m voi a cenar =P), lo unico que te puedo comentar ahora es que el 1er limite, por lo menos me parece a mi a simple vista, que da 0, ya que podes acotar el \(\sin^{2}(xy)\) por \(xyxy\), y el denominador lo acotas por \((x^{2}+y^{2})^{3/2}\) y te queda abajo la norma al cubo y arriba podes acotar por la norma a la cuarta, por lo que te queda la norma menor que epsilon, y con tomar delta = epsilon ya esta
perdona x la explicacion asi nomas, es q estoy apurado, dsp si tenes alguna duda te la respondo..
como no se como borrar lo que escribi lo deje en blanco para que no moleste jeje. Las borraria pero no se como, Si hay algun administrador o algo asi por aca las puede borrar jeje
Y probablemente alguno de los otros también... fijate...
con razonnn m habia salido "tan facil" el 1ero =P..ya lo habia visto en alguna parte jaja
acabo de pensar el 3ro, hice esto:
Para la parte a:
te piden las derivadas parciales y cuanto vale en F(0,0) (si te fijas, el lim es el de diferenciabilidad)
si queres que ese limite sea 0, la constante c tiene que ser 0, por lo tanto, c=0
despues las derivadas parciales (a y b) las saque pensando en que \(\lambda(-4,-6,2)=\) a la normal del plano
al ser una funcion de R^2 en R, la normal de F en (0,0) te quedaria de una forma = (derivada con respecto a x(lo llamo "a" a partir de ahora, derivada con respecto a y (lo llamo "b"), -1)
Por lo tanto, igualas \(\lambda(-4,-6,2)=\) a eso, y sacas el valor de \(\lambda\) ( te quedaria igualando la 3ra coordenada \(\lambda2=-1\), por lo tanto \(\lambda=\frac{-1}{2}\)
ahora que tenes lambda podes sacar el valor de a y b, que quedarian 2 y 3 respectivamente.
para la parte b) del ejercicio, hice esto:
Separe en 2 y saque factor comundo en el 2do termino, quedandome: \(\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \frac{x(F(x,y)-5-x-3y)}{x^{2}+y^{2}}\)
El primer termino es acotado, en el 2do tengo algo que tiende a -5 multiplicado por \(\fra{x}{x^{2}+y^{2}}\) que no se a que tiende, pero a "simple vista" parece que tiende a infinito, por lo tanto el limite tenderia a infinito =S..
jaja, no se, eso es lo que se me ocurrio, espero que alguien me corrija que hice mal, o si esta bien, como puedo comprobar que esa ultima fraccion tiende a infinito..
saludos!..
PD: Gracias wesnet =D
EDIT: ESTA MALLL (lo unico que estaria bien seria el a y el b =P), MIRAR MAS ABAJO =P
Esos son los parciales que yo los pase, están escritos por mi ahi en el costado =P
Mira, como dijo agustina, hay un par que están resueltos en ese link que te paso.
Los otros trato de respondértelos y dejártelos lo más claro posible. Cualquier cosa si estabas ayer cuando nos juntamos en la mesa del comedor, hoy me vuelvo a juntar al mediodia. Si andás por ahi pasate y consulta =P
Pq tengo el parcial y los recuperatorios todos resueltos
Recuperatorio del primer parcial. Curso de Verano 2009
Ejericio 2Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) diferenciable talque \(N:(x,y,z)=\lambda(-4,-6,2)+(4,6,3)\) es la recta normal a \(f\) en \((0,0)\)
Para esto tenés que ver los datos que te están dando
Primero que nada te dicen que la recta normal al gráfico en el (0,0). Es decir que pasa por ese punto. Si bien la recta tiene tres coordenadas esto es porque los puntos de esa recta son:
\((x,y,f(x,y))\) porque así es como se grafica una función de \(\mathbb{R}^2\)
Entonces sabemos que pasa por el (0,0)
Los puntos de esa recta son:
y como sus dos primeras coordenadas tienen que ser (0,0) tengo que tomar \(\lambda=1\)
Y me queda el punto \((0,0,5)=(x,y,f(x,y))\) Es decir que \(f(x,y)=5\)
Otro dato que tenenos es que f es diferenciable. Entonces se que:
Osea la ecuación del plano es:
\(z=5+ax+by\) donde a y b son las derivadas parciales con respecto a x y respecto a y
y por esto sabemos que el gradiente de f es (a,b)
Además:
(si multiplicás esos ultimos dos paréntesis vas a ver que te queda igual a \(-5=(a,b)(x,y)-z)\)
Por consiguiente llegamos a que el vector normal a z tiene que tener una dirección (es decir una inclinacion) igual (o múltiplo) a \((a,b,-1)\)
La dirección de \(N\) es \(\lambda(-4,-6,2)\) Comparamos
\(\lambda(-4,-6,2)=(a,b,-1)\) De ahí despejamos que \(\lambda\) tiene que ser -1/2 para que la tercer coordenada quede -1. Entonces \(a=2, b=3\)
Ya tenemos c, porque c es el punto \(f(x_{0},y_{0})\)
y tenemos a y b
ya podés reemplazar en el límite. Te queda:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{f(x,y)-5-2x-3y}{(x^2+y^2)^{1/2}=0}\)
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
XDDDDDDDDDD resolvimos el mismo ejercicio. Igual no etendi lo tuyo de c=0
o.o
jajaja, si, igual tenes razon vos, habia puesto eso xq como todo ese limite tenia que dar 0, tonces c tenia que ser 0, para q todo el limite de arriba diera 0 y no tendieria a un numero (q en ese caso, se iria a infinito el limite), pero frutee un poco al pensar eso, xq en ningun lado dice que f(x,y) tiende a 0, por lo tanto esa funcion puede tender a 5 y por eso el resultado tiende a 0, asi que esta mal ^^
Igual Eze, hay una parte de ese ejercicio, en el segundo límite que creo que no la tengo bien calculada. Hoy la pregunto 😛
Ejercicio 3 Sea \(f: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) diferenciable tal que \(\bigtriangledown f(x,y)=(0,0) \forall(x,y)\) en la curva de ecuación \(x^2+y^2=1\). Probar que \(f(1,0)=f(-1,0)\)
Bueno, la parte dificil está en que te dicen que el gradiente es igual a (0,0) solo para los puntos que pertenecen a esa circunferencia de radio 1 con centro en el origen.
Es decir. Lo ideal acá es aplicar la extensión del Teorema del valor medio para n variables. Pero hay un problema. Si yo aplico a la ligera el teorema y digo:
Estaría tomando un punto \((x_{0},y_{0})\) de la recta que une al \((1,0)\) con el \((-1,0)\). Pero ese punto no pertenece a los puntos de la circunferencia donde yo se que el gradiente es igual a cero.
Entonces sería falso decir que lo anterior equivale a:
\(f(1,0)-f(-1,0)=0 ((1,0)-(-1,0))\quad\Rightarrow\quad f(1,0)=f(-1,0)\) Nótece que dije que sería un error (y lo remarco pq yo me equivoqué cuando lo resolvia jajajaja)
Entonces (y recuerden releer el teorema para varias variables porque sino no entenderán lo que estoy diciendo =P)
voy a unir los dos puntos por una curva donde yo se que cualquier punto que yo elija el gradiente de la curva me de 0.
El profe me tiro la curva siguiente (yo para parametrizar soy un queso no entiendo qué es eso XD)
$$\sigma(t)=(cost,sent)$$
$$(fo\sigma)(t)=g(t)$$
y voy a usar esta curva para unir a los dos puntos
ya entendi, gracias =D, entonces para mi esta bien el limite jaja..solo un pequeño detalle, no se porque decis que todo el limite da 0, tendria q dar 1, porq tas sumando 2 limites, por algebra de limites, uno tiende a 0, uno tiende a 1, el limite total da 1 ^^
Ejercicio 4 Sea \(f\) diferenciable en el \((1,2)\) tal que las derivadas direccionales \(\frac{\partial f}{\partial v_{1}}(1,2)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial v_{2}}(1,2)=\frac{1}{2}-\sqrt{3}\) donde, \(v_{1}=(1,1)\) y \(v_{2}=(-\sqrt{3},-1)\)
a) Hallar la dirección de mayor crecimiento de \(f\) en el punto \((1,2)\) y el crecimiento que tiene en esa dirección.
Bueno, sabemos que \(f\) es diferenciable. Esto me dice que yo puedo calcular las derivadas direccionales como el gradiente de f por el vector direccional (Recordar que esto es así solo si f es diferenciable en el punto donde vamos a calcular la derivada direccional.
.)\(f\) es diferenciable en el \((1,2)\) luego
$$\frac{\partial f}{\partial v_{1}}(1,2)=\bigtriangledown f (1,2) . v_{1}$$
Despejás cada derivada parcial y el valor que te da te da el gradiente. Una vez tenés el gradiente de x lo evaluás en el punto (1,2) y te da una dirección. Esa sería la dirección de mayor crecimiento en el punto (1,2).
Si querés saber cuánto es el crecimiento en esa dieción tenés qe sacar la norma del gradiente =P
pd: no lo calculo pq me da números con raices y ni ganas XD
b)Decidir si \(f\) crece o decrece si nos movemos desde el punto \((1,2)\) en dirección \((-1,1)\)
No estoy segura, pero yo calcularía la derivada direccional con la dirección (-1,1) usando el gradiente que ya calculaste.
Si esta derivada direccional te da negativo decrece, si te da positivo crece.
pero no estoy segura de que esté bien
¡Gracias a todos los que se tomaron el trabajo de responder! xd
Pero igual me quedó esa duda de cómo saber si f crece o decrece si nos movemos desde el punto (1,2) en dirección (-1,1). Que algún profesor dé su dictamen xd
Bueno, sabemos que \(f\) es diferenciable. Esto me dice que yo puedo calcular las derivadas direccionales como el gradiente de f por el vector direccional (Recordar que esto es así solo si f es diferenciable en el punto donde vamos a calcular la derivada direccional.
Es cierto que si una función es diferenciable, entonces cumple esa propiedad. Pero no es cierto que la cumple sólo cuando la función es diferenciable. De hecho, aunque suceda eso ni siquiera se puede afirmar que la función sea continua.
Otra duda me quedó, con respecto a la resolución del ejercicio 4 por parte de Frangipani, cuando calcula el vector direccional en el ejercicio 4, ¿no debería ser el vector unitario?
v2 está sin normalizar, para usar la formula del gradiente x el vector, el vector tiene que ser de norma uno. ¿No habría que normalizarlo para poder usar esa fórmula?
v2 está sin normalizar, para usar la formula del gradiente x el vector, el vector tiene que ser de norma uno. ¿No habría que normalizarlo para poder usar esa fórmula?
CREO (ahora me entra la duda), que segun mis profes, no importa que no este normalizado el vector para usar esa formula..pero ni idea =S..en otros turnos parece que lo vieron asi, de que el vector tiene que estar normalizado =S
claro, yo voi a la mañana, al aula d la k-z...un compañero mio q lo conosco dl cbc va tmb va al turno d la tarde y el otro dia, en un ejercicio, hizo lo d normalizar el vector antes d usar la formula, ai me extraño por primera vez (yo hasta ahora nunca normalize un vector para un ejercicio, y en mi practica/teorica tmp q yo sepa XD)
jajajja. Siiiii
Hoy cuando estaba en la facu viendo el parcial me di cuenta de que cuando lo puse acá no lo normalicé. Pero v1 tampoco esá normalizado, hay que nor normalizar a los dos vectores ^^
tienen razon, hay q normalizar, recien me fije en la teoria y aclara q la norma d v tiene q ser 1 =P...
me parecio raro xq no hicimos ningun ejercicio de "normalizar" (que yo sepa x lo menos =S), por eso se me habia re olvidado...y me fije los ejercicios que dieron en la practica, en el que usan esa formula, y los vectores del enunciado ya eran d norma 1 =P..
No hay que normalizar. Miren bien la demostración. Creo que está posteado por algún lugar del foro.(igual para evitarse esto les van a dar los vectores normalizados)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
jajajja. Siiiii
Hoy cuando estaba en la facu viendo el parcial me di cuenta de que cuando lo puse acá no lo normalicé. Pero v1 tampoco esá normalizado, hay que nor normalizar a los dos vectores ^^
pd: Alien vas conmigo en analisis tonces
Groso. Bueno, suerte mañana, a vos y al resto...
Estuve tratando de hacer el ejercicio en cuestión, este de las normalizaciones. Y me dan unos números horribles, no se si está bien. Para encontrar la dirección de mayor crecimiento, ¿¿cómo se hacía?? En una parte de la téorica tenía algo así como multiplicar al gradiente por 1/norma del gradiente, pero no se si eso está bien. Si alguien entra antes de irse a dormir (si pueden xDD), agradecido.
Estuve tratando de hacer el ejercicio en cuestión, este de las normalizaciones. Y me dan unos números horribles, no se si está bien. Para encontrar la dirección de mayor crecimiento, ¿¿cómo se hacía?? En una parte de la téorica tenía algo así como multiplicar al gradiente por 1/norma del gradiente, pero no se si eso está bien. Si alguien entra antes de irse a dormir (si pueden xDD), agradecido.
En este resumen está la desigualdad que decís vos....creo que en la hoja 3:
si dividis al gradiente por su norma, lo que harías es normalizar al gradiente, que no creo que sea necesario para indicar la dirección de mayor crecimiento. Hasta donde yo se (y espero que esté bien) el gradiente ES la dirección de mayor crecimiento ^^
Maca: estoy tratando de encontrar dónde escribí que el profe me tiró la curva, pero no lo encuetro. jajajajjaja
Edit\ jajajaj, ya lo encontré =P. Sería mejor que me tire su teléfono en vez de la curva o.o
Si el gradiente de tu funcion diferenciable no es nulo,entonces el mismo apunta en la direccion en la cual tu funcion crece mas rapido.
pensa que estas trabajando con un producto interno a la hora de calcular la derivada direccional de una funcion diferenciable en la direccion de un cierto vector unitario
\(v\) :el producto entre tu vector unitario Y EL VECTOR GRADIENTE.
Si quisieras calcular ,por decirlo asi,la magnitud de este crecimiento y tomarias la norma del producto interno ,obtendrias
\(\|v\|.\| \bigtriangledown (f) \|.cos(\theta)\)donde \(\theta\)es el angulo comprendido entre los dos vectores...como \(\|v\| =1\) ...
\(\| \bigtriangledown (f) \| .cos(\theta)\) y si te fijas,el valor maximo de coseno es 1 que justo es el caso en el cual \(\theta = 0\) es decir ,cuando los vectores son paralelos...
espero que les sirva de algo...Saludos
