$$f(x,y)=\begin{Bmatrix}\frac{sen^2(xy)}{y^2+(x^2+y^2)^{3/2}} & si (x,y) \neq(0,0) \\ 0 & si (x,y) = (0,0)\end{matrix}$$
1.Estudie la continuidad en \((0,0)\)
Para que f sea continua en el (0,0) el límite de (x,y) tendiendo al (0,0) debe ser igual a \(f(0,0)\)
Luego, pruebo primero acercándome por algún eje
$$\small y=0)$$
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{0}{x^3}=0$$
Puedo concluir que de existir el límite debería ser 0
Voy a demostrarlo por definición. Es decir, quiero ver que para \(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\quad tal que\quad ||(x,y)-(0,0)||<\delta \Rightarrow |f(x,y) - 0|< \varepsilon\)
Para esto usé lo siguiente:
1)\(\small sen(xy)\leq|xy|\)
2)\(\small y^2+(x^2+y^2)^{3/2}\req (x^2+y^2)^{3/2}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{y^2+(x^2+y^2)^{3/2}}\leq\frac{1}{(x^2+y^2)^{3/2}}\)
3)\(\small |x|=\sqrt{x^2}\leq\squart{x^2+y^2}=||(x,y)||<\delta\) y \(\small |y|=\sqrt{y^2}\leq\squart{x^2+y^2}=||(x,y)||<\delta\)
Entonces basta tomar un \(\delta<\varepsilon\)
Por lo tanto f es continua en todo \(\mathbb{R}^2\)
2.Estudie la diferenciabilidad de \(f(x,y)\) en \((0,0)\)
En esta parte ya no se si está bien lo que hice =P
Para ver si f es diferenciable en el (0,0) necesito primero calcular sus derivadas parciales en el punto (0,0):
\($\dfrac{df}{dx}$(0,0)\)\(=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{sen^2(0)}{(h^2)^{3/2}}-0}{h}=0\)
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Ejercicio 2: Dada la recta \(N : (x,y,z)=t(1,2,-1)+(4,-1,2)\) y la superficie \(S:x^2+xy+yz+9=0\) halle los puntos de \(S\) talque \(N\) sea la recta normal a la superficie.
La dirección de la recta \(N\) está dada por el vector \(t(1,2,-1)\)
Teniendo en cuenta la superficie \(S\), el vector normal a esta en el punto \((x_{0},y_{0},z_{0})\) debería tener una dirección del estilo \(\bigtriangledown S (x_{0},y_{0},z_{0})\)
$$t(1,2,-1)=(t,2t,-t)$$
$$\bigtriangledown S (x_{0},y_{0},z_{0})=(2x_{0}+y_{0},x_{0}+z_{0},y_{0})$$
$$t=2x_{0}+y_{0}\quad\Rightarrow\quad x_{0}=t$$
$$2t=x_{0}+z_{0}\quad\Rightarrow\quad z_{0}=t$$
$$-t=y_{0}\quad\Rightarrow\quad y_{0}=-t$$
Luego el punto debe ser \((t,-t,t)\)
Y además tiene que pertenecer a \(S\)
\(\lambda(3,6,-3)+(3,-3,3)=(4,-1,2)\) con \(\lambda=1/3\)
$$\bigtriangledown S(-3,3,-3)=(-3,-6,3)$$
\(\lambda(-3,-6,3)+(-3,3,-3)=(4,-1,2)\) No existe lamda tal que la igualdad se cumpla. Entonces el punto de intersección es el (3,-3,3)
Ejercicio 4 Sea \(g:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2\) de clase \(C^1\) tal que \(g(1,2,-1)=(0,0), ($\dfrac{\partial g_{1}}{dx}$,$\dfrac{\partial g_{2}}{dx}$)(1,2,-1)=(1,0) y ($\dfrac{\partial g_{1}}{dz}$,$\dfrac{\partial g_{2}}{dz}$)(1,2,-1)=(2,3)\)
Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) dado por \(f(u,v)=e^vsin(u)+(u-v)^2+v\)
Si \(w=(\frac{-\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2})\), calcule:
$$$\dfrac{\partial(fog)}{\partial w}$(1,2,-1)$$
Si fog es diferenciable en el (1,2,-1), entonces puedo calcular
Yo usé las mismas cotas que vos para resolverlo ( eso no asegura que estén bien) y me dio diferenciable....
dudé porque me dijeron que casi siempre es continua y no diferenciable las f que dan en los parciales
(no hay que guiarse por estos comentarios igual). Después: el límite diferencial va con módulo, no te lo olvides en el parcial (= lo pusiste en las acotaciones) y el \(\delta=\epsilon\) también podés tomarlo, osea menor o igual vale también
Yo usé las mismas cotas que vos para resolverlo ( eso no asegura que estén bien) y me dio diferenciable....
dudé porque me dijeron que casi siempre es continua y no diferenciable las f que dan en los parciales
(no hay que guiarse por estos comentarios igual). Después: el límite diferencial va con módulo, no te lo olvides en el parcial (= lo pusiste en las acotaciones) y el \(\delta=\epsilon\) también podés tomarlo, osea menor o igual vale también
gracias Mr. Satan (me da gracia tu nick XD) no sabía que el lim para calcular diferenciabilidad iba entre módulo o.o Casi la embarro =P
Una preguntonta: cuando se piden los puntos normales a la superficie (en el 2), importa la traslación?.
Me refiero, si el punto (4,-1,2) hubiese sido otro, quería decir que no existían puntos para los cuales esa recta era normal?
Si es así, ¿vale primero intersectar la recta con la curva y luego probar "a lo bestia"?
No se si se entiende mi pregunta, gracias por su/s ayuda/s.
Mirá, yo no se si está muy bien el ejercicio como lo hice ^^
Yo se que ESA recta que me dan tiene que ser LA recta normal a la superficie en algún punto
Entonces uno calcula la recta normal a esa superficie. Es decir, primero que nada calculo el gradiente que es lo que me va a dar la inclinación y lo comparo con la inclinación de la recta N que me dieron.
Además yo se que la recta N pasa por ese punto. Entonces, la recta normal a S pasa por ese punto, el (4,-1,2). Y ahí es donde tiene importancia el punto.
Si pasase por otro punto entonces calcularía la misma recta con respecto a ese otro punto
¿¿¿se entiende??? o.o????
No se si fui muy clara jajajaj XDDD
espero que si ^^
Respecto al ejercicio 1), como no me gusta mucho distribuir y es como que marea un poco, a partir de la expresión que separaste para que tienda a cero a mi me queda algo así:
ah! estás planteando la diferenciabilidad? Pero tonces hiciste la misma cota que yo XD
Puede que si, pero cuando vi distributivas juro que me perdí. Probablemente ya mi cabeza no quiera entender las cosas, pero bueno, traté de simplificarlo sin distribuir nada, sólo eso. Pero si, era diferenciabilidad.
La segunda comprobación esta mal, el vector (-3;3;-3), no cumple, si te fijás, tomando t= -1/3 como decís vos, no se cumple la igualdad. Hacelo con cuidado y fijate si no tengo razón.
Mañana es el parcial, y los nervios visitan mi mente, me rajo a ejercitar un poco más...
