[No Resuelto] {Final } {19/02/08} {ej.4}

Hola!!!!, volvì, y esta vez pidiendo ayuda con este ejercicio de final:

Sea F: \(R^2-R^2\), de clase \(C^1\), tal que para todo (x,y) \(\in\mathbb{R} ^ 2\), F(x,y) \(\in\) S, donde
S = {(x,y) : \(x^2 + y^2\) =1 }.

Mostrar que para todo (x,y) \(\in \mathbb{R}^2\),
J(F)(x,y)=0,
donde J(F)(x,y) es el Jacobiano de F en (x,y).

Saludos,

Hola Mar. Te aviso que este ejercicio se resolvió de manera general en el thread ''Ejercicio de Final 2'', en ejercicios de Diferenciación,[Resuelto]Ejercicio de final 2. El problema resuelto era una generalización de este. Si seguís teniendo complicaciones, avisá. Saludos.

Muchas gracias!!!, no habìa notado que podìa encontrar algùn ejercicio de final en los temas especìficos, de paso encontrè un par màs, gracias de nuevo, hasta pronto

Ups, creo q hay q ordenar todo el foro...

Estuve media hora trantado de componer dos funciones que tengan una matriz del diferencial de 2x2, con la idea de que una la conozca y otra no, y que la primera mande los puntos al círculo unitario y que su jacobiano sea 0.. No se por qué me convencí de que tenía que resolverlo así.. la solución me pareció muy ingeniosa, voy a tener más en cuenta al teorema de la función inversa para demostrar por el absurdo, ya exequiel lo usó un par de veces..

Si bien no es un ejercicio de final, con Agustín, Daniel y Nico estabamos tratando de probar lo que voy a escribir ahora, pero me di cuenta ahora que lo habíamos probado. Bueno, sin ser más confuso, el ejercicio es el siguiente(los que se juntaron el viernes no resuelvan el ejercicio...):
Decidir si existe una función biyectiva \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\), diferenciable. En caso de existir, exhibir una. Caso contrario, probar la no existencia. Espero que les sirva para el martes. Saludos.

Matias escribió:

Estuve media hora trantado de componer dos funciones que tengan una matriz del diferencial de 2x2, con la idea de que una la conozca y otra no, y que la primera mande los puntos al círculo unitario y que su jacobiano sea 0.. No se por qué me convencí de que tenía que resolverlo así.. la solución me pareció muy ingeniosa, voy a tener más en cuenta al teorema de la función inversa para demostrar por el absurdo, ya exequiel lo usó un par de veces..

yo lo hice así... como vos decís, me inventé una función g que era g:S->R /g(x,y)=||(x,y)||, que es diferenciable en S (aunque no se si es necesario definirla desde S, creo que basta con que no incluya al (0,0)). La composición de tu función y g te da siempre 1, así que es constante, por lo que el diferencial tiene que ser nulo, y ahí usás regla de la cadena, y supones que el jacobiano no es 0 y entonces existe una inversa de la matriz... eso lo habían dicho ya en algún problema, creo que en el del final del 18. Creo que exequiel dijo que era poco elegante hacerlo así, pero a mí se me ocurrió eso, aunque supongo que ne lf inal voy a ver si medoy cuenta de como hacerlo con el teorema de la función inversa primero. está demasiado mal lo que yo dije?

Editado 2 veces.

Donde pusiste C es S, no? porque sino no entiendo nada jajaja

Ah, claro, mi idea era parecida, pero ya trataba de encontrar dos funciones que compuestas te den f.. lo que hiciste vos es mejor, con lo que yo estaba haciendo no salía..

Matias escribió:

Donde pusiste C es S, no? porque sino no entiendo nada jajaja

Ah, claro, mi idea era parecida, pero ya trataba de encontrar dos funciones que compuestas te den f.. lo que hiciste vos es mejor, con lo que yo estaba haciendo no salía..

sí sí, donde puse C es S, pasa que en el quehabía hecho yo se llamaba C; ahí lo arreglo. 🙂

en respuesta a exequiel, estas pidiendo que sea biyectiva en todo \(\mathbb{R}^3\) tengo la impresion que eso es imposible para R^n con n>1 pero bueno.
No se si con esto sale, puede ser cualquiera.
Si la funcion es diferenciable, es continua, entoces tomemos 3 puntos a,b,c no colineales, tales que f(a)=1f(b)=2f(c)=3 (los numeros 123 son solo un ej para que se entienda mejor) por el teorema de los valores intermedios en la recta que une a ac tiene que existir algun punto donde la funcion valga 2 pero entonces ese punto no puede ser b ya que abc no son colineales y entonces la funcion no es biyectiva.
Esta bien?

Dije que era poco elegante en broma. Jaja; ¡por favor, no tomen este tipo de comentarios míos en serio! Mientras la demostración esté bien, listo. En el final, la resolución que sale, sale; más elegante o no, es una resolución. Eso si, cuidando el formalismo.

Con respecto a la resolución que planteaste, falta un detalle:
Si tomás \(f(a)\eq=1\) y \(f(c)\eq=3\), cabe preguntarse por qué tomás \(b\) no colineal. Si tomás \(b\) colineal, quiere decir que el segmento \(\overline{ac}\) recorre todos los valores \([1,3]\). Si \(b\) no fuera colineal, probaste que no existe tal inyectividad, lo que arruina la biyectividad de \(f\). Luego, en virtud de la colinealidad, resulta que si no hubiera un real \(x\) tal que el vector cuya imagen es \(x\) y sea colineal, resulta que tendrías una recta \(\mathbb{L}\) que recorre todos los valores reales. Pero en este caso, existe un vector \(v\in \mathbb{R}^{3}:v\notin \mathbb{L}\), cuya imagen necesariamente es uno de los reales que ya tomó totalmente la recta \(\mathbb{L}\), lo que arruina la inyectividad, y en consecuencia, la biyectividad.

Faltaba probar esa situación, si bien era evidente. En particular, puede verse en la resolución que solo bastaba pedir continuidad.
Ahora, lo interesante es que a partir de mostrar que no existe una función \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\), inyectiva, se prueba sin ninguna dificultad que una función \(F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}\) diferenciable no es inversible en \(\mathbb{R}^{3}\) si se puede expresar como composición de dos funciones diferenciables \(h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3},\;l:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\), lo que muestra la gran utilidad del teorema de la función inversa. Aún más, si tenemos \(F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n},\;n\geq 2\), diferenciable y puede escribirse como composición de funciones diferenciables \(h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n},\;l:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), no resulta inversible en \(\mathbb{R}^{n}\). Y se puede probar con ''elegancia''... solo en broma. Saludos.

aaah, bueno, bueno, a partir de ahora voy a tomarme tus comentarios menos en serio, jeje. perdón.
y estem, te parece bien entonces mi no elegante forma de pensarlo? jaja. me asusta tu juicio, jajaja.

Está perfecto. Notar que no hay ni siquiera funciones continuas biyectivas... ¿Qué onda entre \(\mathbb R^2\) y \(\mathbb R^3\)? [PD: esta no es una pregunta a nivel análisis 1... pero pueden pensarla igual 😛]