Hola. aca dejo un ejercicio de un final que encontré. la dificultad que tengo es que luego de haber resuelto la integral no me sale acotar el resultado por lo que piden. no se si habrá que hacer alguna acotacion antes...
Saludos a todos !
p.s.: perdón si sale muy grande el ejercicio adjunto, no sé muy bien cómo achicarlo. 😳
Si ya calculaste la integral, que sale con coordenadas polares, te queda \(F(r)\eq=\pi ({e}^{r}-1)\). Ahora, querés ver que \({e}^{r}-1\leq {e}^{{r}^{2}}\Leftrightarrow 0\leq {e}^{{r}^{2}}-{e}^{r}+1\eq={e}^{r}({e}^{{r}^{2}-r}-1)+1\). Si usás el teorema de Lagrange, obtenés \({e}^{{r}^{2}-r}-1\eq={e}^{c}({r}^{2}-r)\). Con esto creo que acotás el resto fácil. De igual manera, me parece que hay una manera más fácil(acotando antes de la integral; ahora no lo veo, disculpá)... fijate si esta idea te ayuda. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Me acordé! Olvidaba que para acotar el Teorema del Valor Medio siempre acude en ayuda. En efecto, no es necesario ni siquiera hacer la integral. Si recordás, el Teorema del valor medio que hay para integrales dobles es \(\int_{D}f(x,y)dA\eq=f(c)A(D)\), siendo \(A(D)\) el área de la región, \(c\in D,\;f\) continua sobre \(D\), y \(D\) una región elemental. Dado que todas estas hipótesis valen, podés usar el teorema. Como la región es el círculo de radio \(\sqrt{r}\), te queda \(\int_{{B}_{r}}{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}dA\eq={e}^{{c}^{2}+{d}^{2}}\pi r \leq {e}^{r}\pi r\). Solo basta probar \({e}^{r}r\leq {e}^{{r}^{2}}\) y listo, lo cual es fácil de ver, pues \({e}^{{r}^{2}}-{e}^{r}r\eq={e}^{r}({e}^{{r}^{2}-r}-r)\), es decir, depende solo del signo de \(({e}^{{r}^{2}-r}-r)\). Ahora bien, para probar que siempre es positivo, podés hacer un estudio similar al anterior; estudiá la función \(({e}^{{r}^{2}-r}-r)\), por ejemplo para probarlo. Cuando derivás, \((2r-1){e}^{{r}^{2}-r}-1\eq=0\Leftrightarrow (2r-1){e}^{{r}^{2}-r}\eq=1\). Fijate que r=1 es raíz. Más aún, es la única, pues \((2r-1){e}^{{r}^{2}-r}\) es una función creciente y positiva a partir de \(\frac{1}{2}\). Luego se concluye la unicidad. Luego r=1 es el único punto crítico en el intervalo que trabajás. Si evaluás en la derivada, ahora, obtenés que (0,1) la función \(({e}^{{r}^{2}-r}-r)\) decrece y a partir de r>1, crece. Luego, como r=1 también es raíz de la función, esta es la única en \((0,+\infty )\). Por la continuidad, y el Teorema de Bolzano, debe conservarse el signo de la función en los intervalos \((0,1),\;(1,+\infty )\). Si evaluás en un punto de cada intervalo, observás que siempre es positiva la función, que era lo que querías probar.Si te quedan dudas sobre el razonamiento, avisá. Concluís que lo que estudiás es siempre positivo. Luego, sabés que \(\pi <4\). Concluís \({e}^{r}\pi r\leq 4{e}^{{r}^{2}}\), lo que querías probar. Espero que estas dos perspectivas te sirvan. Saludos.
si hacemos coordenadas polares queda \(\int^{2\pi}_0 \int^r_0 (e^{p^2}*p) dp d\theta = \pi(e^{r^2} - 1)\). Siendo p lo que normalmento en polares es r, pero ya estaba usada en el ejrecicio. Entoces ahi queda probar que
\(\pi(e^{r^2} - 1) < 4e^{r^2}\) que es verdad porque pi < 4 y por que si a un numero le restas uno es menor que el mismo numero.
No estoy seguro si esta bien, pero creo q la integral es así.
Saludos!
El radio de la bola es \(\sqrt{r}\), fíjense que una ecuación del tipo \({x}^{2}+{y}^{2}\eq={r}^{2}\) tiene \(r\) como radio. Por eso les queda \({r}^{2}\). O si quieren, reemplazan con polares y queda \({x}^{2}+{y}^{2}\leq r\), reemplazan y queda \({\rho}^{2}\leq r\). Espero que se entienda lo que remarco...
Exequiel, tengo dudas de la primera resolución que propusiste para la acotación. Traté de seguir el razonamiento que propusiste.. pero aún después de aplicar el teorema de lagrange para acotar no llego a ninguna conclusión.
Traté de seguir con esta propuesta porque el teorema del valor medio para integrales dobles no lo vimos en la teórica.
¿Cómo puedo hacer para seguir con eso?
Gracias!!
Te tiro una sugerencia distinta, que me parece mejor. Fijate si por acá sale
Llegamos a que \(0\leq {e}^{{r}^{2}}-{e}^{r}+1\). Si llamás \(x\eq={e}^{r}\), esta condición se reformula a
$${x}^{r}-x+1\eq=f(x)$$
Estudiá esta función, sacando \(f'(x)\eq=0\), recordando \(x\eq={e}^{r}>0,\;r>0\)
Fijate si sale. Cualquier cosa, volvé a preguntar. Saludos.