Tema

[No resuelto] Sin fecha. Final de Analisis II (C)

7 respuestas 8921 visitas 2008-07-20

#1 Ivana 2008-07-20 23:38

Hola, que tal? Encontre un ejercicio en un final de Analisis II (c) que pedia calcular un limite. Me aproximé por diferentes curvas y siempre da cero, por lo empecé a probarlo por definicion. El problema es que no pude acotar el logaritmo natural

El ejercicio es este
Analizar la existencia de limite en $(0,0)$ de la función

f(x,y)=x ln({x}^{2}+{y}^{2})

Les agradecería mucho si me pueden pasar alguna técnica para hacerlo

Saludos!

#2 kevin 2008-07-21 02:33

Al parecer $x^2+y^2 > Log(x^2+y^2)\textrm{ } \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$

entonces supongo que podras acotar con eso..
$|x Log(x^2+y^2)| \leq |x(x^2+y^2)| < \delta^3 = \epsilon$ ???
no.., esta bien eso..? algo asi..

Firma

http://tekage.com.ar

\LaTeX?\text{ }\phi{u}\epsilon\text{ }\epsilon\text{s eso?}

#3 Nico? 2008-07-21 09:22

Creo que la cota era $Ln(x) \leq |x-1|$
Pero a mi no me crean nada de este tema..
Bienvenida Ivana, despues decinos q carrera seguis asi te coloreamos el nick o presentate en la seccion Alumnos =)

#4 kevin 2008-07-21 13:13

ah.. no.. me parece que dije cualquiera..
por que esta en modulo..
el modulo de $Log$ cerca de cero no lo podes acotar...
hm.. no se como se hace, 🙁

#5 exequiel131719 2008-07-21 19:14

Yo pensé lo siguiente:
Se que, $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}({x}^{2}+{y}^{2})\ln({x}^{2}+{y}^{2})\eq=0$. Quiero usar esta información(además, observen que si en vez de aparecer ${x}^{2}+{y}^{2}$ aparece ${({x}^{2}+{y}^{2})}^{k},\;k\in \mathbb{R}_{>0}$, sigue valiendo lo mismo el límite. Comienzo a acotar:

|x\ln({x}^{2}+{y}^{2})|\eq=|\frac{3}{3}x\ln({x}^{2}+{y}^{2})|\eq=|3x\ln {({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}|\eq=|3\frac{x}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}\ln {({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}|

Y ahora podés terminar con el ejercicio, porque ${({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}\ln {({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}\rightarrow 0$, luego, usando la definición de límite, lo acotás, tomando $||X||<{\delta}_{1}$ de manera que $|{({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}\ln {({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}|<{\epsilon}_{1}$. Luego... $=|3\frac{x}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}}{({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}\ln {({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}|<|3x\frac{x}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}}|{\epsilon}_{1}<3{||X||}^{\frac{1}{3}}{\epsilon}_{1}<3{{\delta}_{1}}^{\frac{1}{3}}{\epsilon}_{1}$. Luego, tomando $\delta \eq=\min ({\delta}_{1},{(\frac{\epsilon}{3{\epsilon}_{1}})}^{\frac{1}{3}})$ lo tenés acotado. Creo que está bien. Espero haber ayudado. Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#6 Ivana 2008-07-21 23:42

Muchas gracias por la ayuda!! 🙂

Saludos!

#7 Agustin 2008-08-03 05:46

Bueno, aunque la base de la resolución es la misma, creo que no viene mal una segunda resolución. Ando repasando un poco y de paso me sirve para practicar. Nunca está de más, ahí va:
Tengo $f(x,y) = x\cdot \ln(x^{2} + y^{2})$
Si me acerco por los puntos de la forma $(x,0)$ tengo:
$\lim_{x\rightarrow 0} \; x\cdot \ln(x^{2})$, trabajandolo llegamos a que este límite existe y vale $0$
Luego, de existir el límite debe ser $0$

Como probando por algunas curvas siempre llego a eso, tratemos de probar que efectivamente $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \; f(x,y)$ existe y vale $0$

Entonces, fijado un $\epsilon >0$, quiero encontrar un $\delta >0$ tal que $||(x,y)|| < \delta \Longrightarrow |f(x,y)| < \epsilon$

|f(x,y)| = |x\cdot \ln(x^{2} + y^{2})| \leq |x| \cdot | \ln(x^{2} + y^{2}) | = |x| \cdot 2 \cdot | \frac{1}{2} \ln(x^{2} + y^{2}) | = 2\cdot |x| \cdot |\ln(x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}| \leq 2\cdot ||(x,y)|| \cdot |ln(||(x,y)||)|

Sea $t=||(x,y)||$ y la función $g(t)= t\cdot \ln(t)$. Sabemos que $\lim_{t\rightarrow 0} \; t\cdot \ln(t) \; = 0$, es decir que dado $\epsilon_{0} > 0$, podemos entontrar un $\delta_{0} > 0$ tal que $0<|t|<\delta_{0} \; \Longrightarrow |g(t)|\leq \epsilon_{0}$

Es decir, tomando $\delta\leq \delta_{0}$ tengo que:

|f(x,y)|\leq 2\cdot ||(x,y)|| \cdot |ln(||(x,y)||)| \leq 2\cdot \epsilon_{0}

Bastaría poder usar que $\epsilon_{0}<\frac{\epsilon}{2}$ para tener, siguiendo lo anterior, que: $|f(x,y)| \leq 2\cdot \epsilon_{0} < \epsilon$. Pero esto lo lo puedo hacer, ya que como $\lim_{t\rightarrow 0} g(t) = 0$, fijado cualquier $\epsilon_{0}>0$, (en particular para alguno que me sirva, es decir, tal que $\epsilon_{0} < \frac{\epsilon}{2}$), existe un $\delta_{0}_{(\epsilon_{0})}>0$ tal que $0<|t|<\delta_{0}_{(\epsilon_{0})} \Longrightarrow |g(t)|<\epsilon_{0}$. O sea, que dado $\epsilon > 0$, existe $\delta>0\;$ , (basta tomarlo tal que $\delta \leq \delta_{0}_{(\epsilon_{0})}$), tal que $||(x,y)||<\delta \Longrightarrow |f(x,y)| < \epsilon$. Como queríamos. Chequeenlo para ver que no haya errores por favor, espero que esté bien, y de ser así, que os sirva. Un Saludo.

Firma

Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box

#8 KillSchrodingerCat 2010-05-31 03:27

Agustin escribió:

Bueno, aunque la base de la resolución es la misma, creo que no viene mal una segunda resolución. Ando repasando un poco y de paso me sirve para practicar. Nunca está de más, ahí va:
Tengo $f(x,y) = x\cdot \ln(x^{2} + y^{2})$
Si me acerco por los puntos de la forma $(x,0)$ tengo:
$\lim_{x\rightarrow 0} \; x\cdot \ln(x^{2})$, trabajandolo llegamos a que este límite existe y vale $0$
Luego, de existir el límite debe ser $0$

Como probando por algunas curvas siempre llego a eso, tratemos de probar que efectivamente $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \; f(x,y)$ existe y vale $0$

Entonces, fijado un $\epsilon >0$, quiero encontrar un $\delta >0$ tal que $||(x,y)|| < \delta \Longrightarrow |f(x,y)| < \epsilon$
$|f(x,y)| = |x\cdot \ln(x^{2} + y^{2})| \leq |x| \cdot | \ln(x^{2} + y^{2}) | = |x| \cdot 2 \cdot | \frac{1}{2} \ln(x^{2} + y^{2}) | = 2\cdot |x| \cdot |\ln(x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}| \leq 2\cdot ||(x,y)|| \cdot |ln(||(x,y)||)|$
Sea $t=||(x,y)||$ y la función $g(t)= t\cdot \ln(t)$. Sabemos que $\lim_{t\rightarrow 0} \; t\cdot \ln(t) \; = 0$, es decir que dado $\epsilon_{0} > 0$, podemos entontrar un $\delta_{0} > 0$ tal que $0<|t|<\delta_{0} \; \Longrightarrow |g(t)|\leq \epsilon_{0}$

Es decir, tomando $\delta\leq \delta_{0}$ tengo que:
$|f(x,y)|\leq 2\cdot ||(x,y)|| \cdot |ln(||(x,y)||)| \leq 2\cdot \epsilon_{0}$ Bastaría poder usar que $\epsilon_{0}<\frac{\epsilon}{2}$ para tener, siguiendo lo anterior, que: $|f(x,y)| \leq 2\cdot \epsilon_{0} < \epsilon$. Pero esto lo lo puedo hacer, ya que como $\lim_{t\rightarrow 0} g(t) = 0$, fijado cualquier $\epsilon_{0}>0$, (en particular para alguno que me sirva, es decir, tal que $\epsilon_{0} < \frac{\epsilon}{2}$), existe un $\delta_{0}_{(\epsilon_{0})}>0$ tal que $0<|t|<\delta_{0}_{(\epsilon_{0})} \Longrightarrow |g(t)|<\epsilon_{0}$. O sea, que dado $\epsilon > 0$, existe $\delta>0\;$ , (basta tomarlo tal que $\delta \leq \delta_{0}_{(\epsilon_{0})}$), tal que $||(x,y)||<\delta \Longrightarrow |f(x,y)| < \epsilon$. Como queríamos. Chequeenlo para ver que no haya errores por favor, espero que esté bien, y de ser así, que os sirva. Un Saludo.

Genteeee

En esta resolución particularmente. No basta con decir que:

$|f(x,y)|\leq ||(x,y)||\cdot{ln(||(x,y)||)}$

entonces:

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=0

Pues:

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} ||(x,y)||\cdot{ln(||(x,y)||)} =0$

Firma

"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
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