No Resuelto Final 26 de Febrero 2008

Estuve un rato pensando este ejercicio y la verdad que no se me ocurrió demasiado cómo hacerlo. Si alguien quiere darle una ojeada 😉

Disculpá; por alguna razón, no puedo abrir el archivo. Podrías escribirlo?

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

A ver si ahí funciona... 🙂

Ahora si lo veo. Esto pensé yo(una cosa, la función que definís, \(F\) está en función de a,b no de x,y. Eso estaba mal del final y lo corrigieron. Aviso así se entiende lo que escribo)
Notá que la función \(f(x,y)\eq=\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) es continua sobre cualquier rectángulo del plano. Luego su integral existe. Luego, sobre la región, va a ser integrable. Si hacés el dibujo de \(T(a,b)\), notá que podés describir la región como \(T(a,b)\eq=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:0\leq x\leq a,\;0\leq y\leq -\frac{b}{a}+b\}\). Luego, reescribo la integral:

Si calculás esta integral, que no es muy complicada(recordá que a,b son constantes en la integral), obtenés, luego de simplificar lo que se puede, \(F(a,b)\eq=\frac{1}{6}ab+\frac{ab}{6}({b-1)}^{3}-\frac{ab}{6}{b}^{3}\eq=\frac{ab}{6}(1+{(b-1)}^{3}-{b}^{3})\) Ahora querés estudiar esta función sobre \(C\eq=\{(a,b)\in D:ab\eq=1,\;\frac{1}{2}\leq a\leq 2\}\). Estás en las condiciones de usar M.de Lagrange, pero... no es para nada necesario. Observá que si estudiás a la función sobre \(C,\;ab\eq=1\), y en la función aparece este producto. Luego, restringiendo \(F{|}_{C}\), te queda \({F}_{C}(a,b)\eq=\frac{1}{6}(a+{(b-1)}^{3}-{b}^{3}) \eq=\frac{1}{6}(-3{b}^{2}+3b)\eq=G(b)\), una función en una variable, donde \(b\) está definido ahora de otra manera, pero luego nos ocuparemos de ello. Observá que para estudiar máximos y mínimos, como \(G\) es derivable, derivás e igualás a 0(o si recordás, la coordenada b del vértice de una ec. de este tipo es \({b}_{0}\eq=-\frac{3}{-6}\eq=\frac{1}{2}\)). Independiente de como lo calcules, obtenés que \(b\eq=\frac{1}{2}\). Como el \(a\) que le corresponde a este valor de b(pues estoy sobre \(C\)) es 2(\(ab\eq=1\Rightarrow \frac{1}{2}a\eq=1\Leftrightarrow b\eq=2\)), estás sobre los ''extremos de la restricción'', con lo que no obtenés información del interior de la curva. Luego, eliminamos el interior de la curva como candidatos de máximos y mínimos. Como \(C\) es un conjunto compacto(es la imagen de una curva sobre un intervalo cerrado), y \(F\) es continua sobre \(C\), debe alcanzar los máximos y mínimos absolutos. Luego, debe alcanzarlos en los ''extremos'' de la curva; \((\frac{1}{2},2),\;(2,\frac{1}{2})\). Como \(F\) se comporta como una función cuadrática, en una variable, en \(C\), concluís, por cuestiones de concavidad, que en \((\frac{1}{2},2)\) alcanza un mínimo absoluto(-1) y en \((2,\frac{1}{2})\) alcanza un máximo absoluto(\(\frac{1}{8}\))(sino, reemplazá y fijate cuanto da y listo) Espero haberte ayudado. Te doy la bienvenida al foro, y saludos.

Muchas gracias ! La aclaración de poner a F como una función de a y b me sirve mucho, porque llegaba por un lado a tener la restricción en función de a y b y por otro, resolviendo la integral, llegaba a una constante (cosas de a y b, pero con la función de x y). Así que voy a intentar si me sale y chequeo con tu resolución.

Mil gracias !

Bueno no se qué está mal pero queria resaltar unas cosas:

primero: la funcion a integrar no es x/a -y/b sino : x/b - y/a.

segundo: la integral de esa funcion no me da como a vos Marcelo,no se como la hiciste,yo me volví loco haciendola una y otra vez y llego al mismo resultado; que es el siguiente : \(a^{2}-b^{2} / 6\)

podes checkear q las cuentas esten bien?,o si estan bien,explicarme como haces el desarrollo de esa integral,porq no llego...y ya intenté varias veces...

gracias 😄

PD: suponiendo que mi resultado sea correcto...derivar eso es un asco; y reemplazando a= 1/b queda algo feo del cual no puedo obtener puntos criticos facilmente,por eso queria ver que estaba haciendo mal,de ser posible q alguien posteé el desarrollo de esa integral 😳

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Bueno, ya es medio tarde para postear porque muchos ya habran dado el final, pero yo lo decidi dar en septiembre 😕. Igual quería decir que a mi la integral también me dio \(\frac{a^2-b^2}{6}\) y cuando trato de parametrizar para encontrar los puntos críticos me da un absurdo: \($-b^4=1$\)

No sé si a uds tambien les da eso. Porque de otra forma, entonces el enunciado correcto tendría que ser el que dio marcelo.

Saludos!!