Este ejercicio venía de un final. Yo le hice una ''ligera'' modificación, para hacerlo más general.
Sea \(F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n},\;{C}^{1}\), satisface que \(\forall X\in \mathbb{R}^{n},\;F(X)\in {S}^{1},\;donde\;{S}^{{r}^{2}}\eq=\{X\in \mathbb{R}^{n}:||X||\eq={r}^{2}\}\). Mostrar que, \(\forall X\in\mathbb{R}^{n},\;{J}_{F}(X)\eq=0\).
Tal vez resulte llamativo, pero la resolución del ejercicio es relativamente simple y sencilla, si se usa cierto teorema. En particular, notemos que F es \({C}^{1}\), por hipótesis, en particular en un punto \({X}_{0}\in\mathbb{R}^{n}\). Supongamos que no vale que \(\forall X\in\mathbb{R}^{n},\;{J}_{F}(X)\eq=0\). Luego, en particular supongamos que no valga en el punto \({X}_{0}\) tal proposición. Entonces, \({J}_{F}({X}_{0})\neq 0,\;y\;es\;{C}^{1}\;en\;{X}_{0}\). Entonces, estamos bajo las condiciones del TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA, que asegura, siendo \(F({X}_{0})\eq={Y}_{0}\), que existen entornos abiertos \(U,V\) de \({X}_{0},\;{Y}_{0}\) respectivamente, donde F es biyectiva. Pero esto es absurdo, puesto que \({S}^{{r}^{2}}\) es el borde de una bola de radio r, que satisface que no existe ninguna bola \(B\subseteq {S}^{{r}^{2}}\), centrada en \({Y}_{0}\) es decir, no contiene ninguna bola abierta, y la imagen de F está contenida en \({S}^{{r}^{2}}\). Luego, no puede existir el entorno del teorema de la función inversa, lo cual es absurdo. Como el absurdo vino de suponer que \({J}_{F}(X)\neq0\) para algún conjunto de puntos, vale decir, no puede existir un punto tal que el jacobiano no se anule, concluímos que \(\forall X\in \mathbb{R}^{n},\;{J}_{F}(X)\eq=0\), como queríamos probar.
Este ejercicio espero que haya ayudado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Una cuestión de notación: \(S^1 = \{x \in \mathbb R^n: ||x|| = 1\}\) por definición... así que si querés, podés llamarlo \(r^2S^1\). Igual, no es mucho más general, porque se reduce al caso anterior tomando \(F = \frac{f}{r^2}\). Fíjense que con exactamente la misma demostración, uno podría poner que la imágen cae toda adentro de la recta \(\lambda(1,0), \lambda \in \mathbb R\), o un montón de otras cosas... simplemente depende de que la imágen tenga interior vacío.
Para ponerme en positivo además de negativo, dejo otro problema (no lo paso a otro thread, porque también es un problema de final):
Sea \(F: \mathbb R^n \to \mathbb R\), \(C^1\) tal que \(F\) se anula en un único punto \(X\). Demostrar que \(\nabla F(X) = 0\).
Perdón, lo que pasa es que el problema original era con \(||X||\eq=1\), y me olvidé de cambiar la notación. Ahora lo reedito y miro el ejercicio que planteaste.
El tema es que la imagen no tiene interior. Te lo justifico para un caso puntual, con bastante margen de hipótesis, que es el ejemplo que puse yo, de una bola.
Si tenés \(S\eq=\{(x,y):{x}^{2}+{y}^{2}\eq={r}^{2}\},\;r>0\), la función \(g(x,y)\eq={x}^{2}+{y}^{2}\) es una función \({C}^{1}(\mathbb{R}^{2})\), cuyo gradiente se anula solo en el \((0,0)\). Luego, podés aplicar el teorema de la función implícita en torno a cualquier punto de \(S\), ya que \((0,0)\notin S\). Luego, en un entorno del \((x,y)\in S\), podés definir una función \(\phi(x)\eq=y\) tal que es \({C}^{1}\) en ese entorno alrededor del \((x,y)\), y además, \((x,\phi(x))\) es la parametrización \({C}^{1}\) en ese entorno de \(S\). Fijate que de acá se ve fácil que no podés tener una bola. En efecto, de haber una bola totalmente contenida en \(S\), de centro \((x,y)\), en particular, vas a tener puntos de la forma \((x,y+\epsilon),\;\epsilon\) chico. Pero est es imposible, puesto que la parametrizamos, o sea, esto diría que el punto \((x,\phi(x)+\epsilon)\in S\), y esto no es posible, porque de alguna manera te dice que la función \(\phi\) estaría tomando más de un valor para \(x\) fijo. De acá ese absurdo. O sea, el borde de la bola no puede contener ninguna bola. Fijate que si sacás \(g\) por otra función con las mismas hipótesis, llegás a lo mismo. En general, si \(S\) es un conjunto de interior vacío, o sea, esto que vinimos diciendo de que no hay algún punto tal que haya alguna bola centrada en el mismo punto y esté contenida esta bola en el conjunto, el resultado, como yossa dijo, sigue valiendo.
Espero haber aclarado. Saludos.