De un recuperatorio del primer parcial, 17/12/07. Punto 4. Consulté sobre este problema en algún momento, pero obviamente no anoté nada y olvidé todo.
$$\textrm{Sea $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} $ una func. que en un entorno del origen satisface la desigualdad:}$$
$$0 \leq f(x,y) \leq |x|^\alpha |y|^\beta$$
$$\textrm{a) Demostrar que si $ \alpha + \beta > 1 $ entonces $ f $ es diferenciable en el origen.}$$
$$\textrm{b) Mostrar con un ejemplo que siempre que $ \alpha + \beta \leq 1 $ hay alguna func. que satisface la desigualdad pero que no es diferenciable en el origen.}$$
A alguien se le ocurre algo?
Yo planteé que \(f\) es continua en un entorno del origen por la cota. Entonces todo límite tiene que ser 0, y tomando \(y=x\) queda por ejemplo que:
Cuando estudías diferenciabilidad, no usás usualmente la idea de continuidad, porque resulta algo débil, sin embargo, la conclusión tuya ya eliminó al problema. La cota \(0\leq f(x,y)\leq {|x|}^{\alpha}{|y|}^{\beta}\), tiene fuertes implicaciones; en efecto, lo que vos concluíste es que \(f(0,0)\eq=0,\;{f}_{x}(0,0)\eq=0,\;{f}_{y}(0,0)\eq=0\). Luego, basta estudiar el límite:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{|f(x,y)|}{||(x,y)||}\).
Queremos probar que si \(\alpha+\beta >1\), la función es diferenciable en el origen, es decir, el límite anterior es 0. Empezamos acotando:
\(\frac{|f(x,y)|}{||(x,y)||}\eq=\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\leq \frac{{|x|}^{\alpha}{|y|}^{\beta}}{||(x,y)||}\).
Utilizando la desigualdad(estamos haciendo límite en el (0,0)) \(|x|,|y|\leq ||(x,y)||\), te queda:
\(\frac{{|x|}^{\alpha}{|y|}^{\beta}}{||(x,y)||}\leq \frac{{||(x,y)||}^{\alpha+\beta}}{||(x,y)||}\).
Y acá usás la hipótesis \(\alpha+\beta>1\); en efecto, estás dividiendo por un denominador de exponente 1, y el numerador es > que 1. Luego, te queda la norma en el numerador, que la podés acotar como querés:
\(\frac{{||(x,y)||}^{\alpha+\beta}}{||(x,y)||}\leq {||(x,y)||}^{\alpha+\beta-1}<{\delta}^{\alpha+\beta-1}\).
Tomás \(\epsilon\eq={\delta}^{\frac{1}{\alpha+\beta-1}}\) y listo. Notá que la acotación fue válida por haber sido \(\alpha+\beta-1>0\); sino, la norma hubiera quedado en el denominador, y hubiese acotado MUY MAL.
Con respecto a la parte ii), un contraejemplo rápido es \(f(x,y)\eq=\sqrt{|x||y|}\). Esta función satisface \(0\leq f(x,y)\leq {|x|}^{\frac{1}{2}}{|y|}^{\frac{1}{2}}\), y no es diferenciable en el origen. Así armate los ejemplos.
Espero haberte ayudado. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
No me di cuenta que posteaste antes... con respecto a la parte ii), la idea es como la de Quimey, pero le tenés que agregar módulo. Perdón, no me di cuenta que habías posteado ya, de verdad.
Muchas gracias por su ayuda! No había caído en que la cota implicaba que el límite de diferenciabilidad tenía esa forma. Lo de las parciales se justifica con \(0 \leq f(h,0) \leq 0\) o hay una noción más general/directa que salga de la cota?
Una pregunta, quizás un poco pava, pero en fin =P:
¿cómo saben que las derivadas parciales en el origen son igulaes a 0? es esto pq la función en el origen es igual a cero, ne?
Firma
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Es claro que f(x,0)=0=f(0,y) y esto implica (por definición) que las derivadas parciales en el origen son 0 en el caso que \(\alpha,\beta >0\).
En los otros casos, por ejemplo si \(\alpha=0\) haces lo siguiente:
Es que mi respuesta apuntaba a otra cosa (digo, soy yo el que no entendió la pregunta). Si las derivadas parciales existen, entonces valen \(0\) pues hay un mínimo en el origen.