Bueno, este es mi humilde intento de aportar al foro. Si alguien más hábil que yo puede revisar lo siguiente para detectar errores sería muy bueno.
\(\textrm{$ f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ / $ f(x,y,z) = \sqrt{|xyz|} $. Estudiar la diferenciabilidad de $ f $ en el origen.}\).
...
$$\textrm{Antes que nada, notar que $ \partial{f}\over\partial{x}$, $\partial{f}\over\partial{y}$ y $\partial{f}\over\partial{z} $ son todas cero debido a que $ \lim_{h\to 0}{{f(h,0,0) - f(0,0,0)}\over{h}} $ es cero, etc.}$$
$$\textrm{Por lo tanto debemos estudiar el siguiente lim:}$$
Notar que es analogo a [Resuelto] 17/12/07, Pto. 4, Recup. 1er parcial
Deberia salir automaticamente porque \(\sqrt{|x||y||z|}=|x|^{\frac{1}{2}}|y|^{\frac{1}{2}}|z|^{\frac{1}{2}}\) y \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}>1\)
Fijate el link. Era un ejercicio que decia si \(0\leq f(x,y) \leq|x|^{\alpha}|y|^{\beta}\) con \(\alpha+\beta>1\) entonces f es diferenciable. Obviamente vale lo mismo con cualquier cantidad de variables. Este ejercicio es el caso con 3 variables.
