[Resuelto] Recuperatorio de primer parcial, 18/3/8, ej. 2

\(a) \textrm{Probar que existe $ a \in \mathbb{R} $ tal que la func. $g$ tiende a $a$ si tomamos lim. al origen por cualquier recta}\).

No entiendo cómo puede ser cierto esto: si uno toma \(y = 0\) no se rompe lo de adentro, y en consecuencia existe una \(g\) que no cumple lo pedido? O eso no es recta?

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Quizas es para toda recta menos esa. Porque en esa recta la funcion no esta definida

Debe ser... la parte b) es analizar la existencia de límite en el origen para g, calculo que uno puede probar que no existe ya que no existe a lo largo de y = 0. Raro que no aclare en a) de todas formas, ya que de lo contrario una resolución válida sería "Falso por y=0", no?

Para mi, lo que dice el ejercicio es lo siguiente; si tomo cualquier recta que pasa por el origen menos \(y\eq=0\), es decir, rectas de la forma \(y\eq=mx,\;m\neq0\), si estudias la función en esa recta, obtenés:
\(g(x,mx)\eq=f(\frac{{x}^{2}}{mx})\eq=f(\frac{x}{m})\). Luego, cuando estudias el límite en el origen, obtenés \(f(0)\eq=a\). Este es el ''a'' que buscás, porque f es continua en \(\mathbb{R}\), particularmente en el 0. Con respecto a la parte ii), si vos estudias sobre \(y\eq=\frac{1}{b}{x}^{2},\;b\neq0\), la función te queda: \(g(x,\frac{1}{b}{x}^{2})\eq=f(b)\). Luego, concluís que es continua la función si \(f\eq=k\), constante. En caso contrario, existen a,b tales que \(f(a)\neq f(b)\), lo que arruina la continuidad.