\(a \in \mathbb{R}\). Superficie S de ecuación:
\(axz + (a^2 - 1)x + y^2 + y + z = a^2 - 1\).
Sea \(\pi\) el plano tangente a S en \((1,0,0)\).
Determinar todos los \(a\) para los cuales el eje x está en el plano.
Si pienso a S como la superficie de nivel \(F(x,y,z)=a^2-1\), creo que el plano tangente genérico está dado por:
\(<(az + a^2-1, 2y+1, ax+1); (x-1,y,z)>=0\).
Reemplazando en la parte derecha, que es el gradiente, y operando:
$$(a^2-1)(x-1)+y+(a+1)z=0$$
Ahora, si quiero que el eje x esté en el plano quiero que todo punto de la forma (x,0,0) cumpla esta igualdad. Entonces:
$$(a^2-1)(x-1)=0$$
Y descartando x=1 la única forma de que esto sea cero es con a=1 o a=-1.
Solo una cosa; si bien es evidente, verificá que el \((1,0,0)\in{S}_{{a}^{2}-1}\). Después, creo que anda bien la resolución.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Sí, gracias Exequiel. Lo hice en la hoja, pero acá copio lo menos posible porque a mayor volumen mayor probabilidad de que el renderizador TeX se me ría en la cara.
eivanec hizo esto:
\(F(x,y,z)=axz+(a^2-1)x+y^2+y+z\) y trabajar con la superficie de nivel dada por \(F(x,y,z)=a^2-1\)
Pero yo hice esto:
\(F(x,y,z)=axz+(a^2-1)x+y^2+y+z-a^2+1\) y trabajar con la superf. de nivel dada por \(F(x,y,z)=0\)
¿El motivo por el cual ambos logramos resolver el ejercicio, es porque nuestras funciones difieren en una constante (\(-a^2+1\)), y por lo tanto tienen el mismo gradiente, y por lo tanto, el mismo plano tangente?, ¿estoy en lo correcto?
Y un ultimo comentario, ¿la unica diferencia en la resolución del ejercicio según que nivel usemos, sería el último paso, propuesto por exequiel, no?
O sea, eivanec tiene que chequear esto: \((1,0,0)\in{S}_{{a}^{2}-1}\)
Mientras que yo tengo que chequear esto: \((1,0,0)\in{S}_{0}\)
(ya sé que numéricamente es realizar exactamente la misma cuenta, yo pregunto si esto está bien "conceptualmente").
En general, se procede como hiciste vos, dejando igualada \(F(x,y,z)\eq=0\). Pero implícitamente definen el mismo plano tangente. O sea, están bien ambos planteos.