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Tema

[Resuelto] {26/7/03}{Tema 1}{ej.5}{Rec.2do.Parcial}

5 respuestas 5138 visitas
#1 Mar

UNO DE FUNCION IMPLICITA

Sea F: \(R^3---R\)de clase C1 tal que F(-4,3,1)=0 y \(\bigtriangledown\)F(-4,3,1)=(-2,0,3).
a) Probar que para la ecuaciòn F(\(3x-2y^2-z, x-y+2z, e^(xyz)\)=0 se verifican las hipòtesis del Teorema de la Funciòn Implìcita permitiendo despejar z=g(x,y) en un entorno del punto (0,1,2).
b) Hallar Dg\Dy (0,1)

A mì, el punto b) me da -4. Quiero saber si coinciden. Y mejor aùn, si alguien, puede demostrar, CON ELEGANCIA, o màs ò menos, que se verifican las condiciones del teorema. Aguardo comentarios, hasta pronto

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#2 Cloud

\(\textrm{Condiciones del T. de la F. Implicita:}\)

$$\textrm{a)}$$
$$\textrm{Llamo $h(x,y,z)=F(3x-2y^2-z, x-y+2z, e^{xyz})$}$$
$$\textrm{1) h debe ser $C^1$ en el entorno:}$$
$$\textrm{h es $C^1$ en todo su dominio ya q es suma, resta y composicion de funciones diferenciables.}$$
$$\textrm{2) h en el entorno debe ser igual a la curva de nivel q nos dan:}$$
$$g(0,1)=2$$
$$h(x,y,g(x,y))=F(3x-2y^2-g(x,y), x-y+2\cdot g(x,y), e^{xyg(x,y)})$$
$$\textrm{en el entorno:}$$
$$h(0,1,2)=F(-4,3,0)=0$$
$$\textrm{Por lo tanto, tambien cumple.}$$
$$\textrm{3) La derivada de h respecto de la variable a la q esta igualada la funcion implicita no debe ser cero en el entorno:}$$
$$\textrm{Llamo $m(x,y,z)=(3x-2y^2-z,x-y+2z,e^{xyz})$}$$
$$Dh(0,1,2)=DF(m(0,1,2))\cdot Dm(0,1,2)$$
$$Dh(0,1,2)=(-2,0,3)\cdot \left(\begin{matrix}3 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 0\end{matrix}\right)$$
$$h_z(0,1,2)=-2\cdot(-1)+0\cdot2 + 3 \cdot 0=2\not=0$$
$$\textrm{Como cumplen las 3 condiciones keda probado q se {d}efine una funcion implicita z=g(x,y) en el entorno al (0,1,2)}$$
$$\textrm{b)}$$
$$h_y(0,1,2)=4$$
\(g_y(0,1)=-\frac{h_y(0,1,2)}{h_z(0,1,2)}=-2\)

fijate q no me dio = q a vos...espero no haberme ekivocado en las cuentas.

PD: vos sos Mar... de Mariela? la señora q se sentaba adelante de nosotros en algebra??

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#3 Mar

Hola Cloud, me parece que me estàs confundiendo con otra persona, no me llamo Mariela,ni Marìa, Marcela, Mara, etc.¿vos te llamàs Claudio?, Solamente, me gusta mucho el mar.

En cuanto al ejercicio, no coincido en los valores de las derivadas, aunque no usè la matriz, pero tu elemento 3,3 me da =0. Fijate, y mañana lo chequeo yo. Me parece que te falta derivar el exponente de la exponencial.Lo mismo cuando hacès hy.

¿Recuperàs el segundo parcial de anàlisis?
Hasta mañana

#4 Cloud

si... me llamo claudio ...y tengo q recuperar el 2° de analisis desgraciadamente... y tmb el primero.

tenes razon me ekivoke en la derivada con e.
ahora lo corrijo...

Salu2

ya lo arregle... sigue sin darme = q vos

#5 Mar

Hola Cloud, pensè que era por "nubes", me parece que el error sigue siendo de cuentas, creo que la matriz es:

$$\left(\begin{matrix}3&-4&-1\\1&-1&2\\2&0&0\end{matrix}\right)$$
Luego, Fy=8 Fz=2 Creo, fijate, hasta pronto
#6 Cloud

you are right...
soy un boludo... asi no apruebo ni empedo maniana :S