En este parcial como punto b) de un ejercicio de función inversa está lo siguiente:
$$\textrm{Sean $ v = (1,2), w = (2,3) $ vectores y $ g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ diferenciable en $ q = (2,0) $ tal que $ \frac{\partial g}{\partial v}(2,0) = 4 $ y $ \frac{\partial g}{\partial w}(2,0) = 5 $...}$$
A partir de eso necesito el gradiente de g para aplicar el TFI en la compuesta con otra función. El tema es: intenté sacar el gradiente de estos datos y me quedó algo horrible. Hice así:
Normalicé los vectores, quedan \(v = (\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}), w = (\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}})\) respectivamente.
Planteé un sistema de ecuaciones lineales con estos datos, usando que g es diferenciable en el punto:
Traté de resolver y me queda algo horrible, como que \(\frac{\partial g}{\partial x} = 10 \sqrt{13} - 12 \sqrt{5}\). Puede ser tan feo el asunto? Me parece más probable que algo de lo que hice, aunque sea básico, esté mal. Patético preguntar algo así a esta altura, pero...
Edit: De hecho saqué la otra parcial, reemplacé en el sistema original y donde me debería dar 4 me da -20, así que algo definitivamente está mal. Probablemente mi cabeza. Pero sale de un -12-8... tan cerca.
Recuerdo haber hecho este ejercicio y haber obtenido ese resultado horrible. Ahora bien, cuando vos demostrás el teorema que dice que si la función es diferenciable entonces la derivada direccional es combinación lineal de las derivadas parciales, usás que es unitario. En efecto, si no considerás el vector con norma 1, en el teorema, te quedaría:
\({f}_{v}(X)\eq=\frac{1}{||v||}<\nabla F(X),v>\). Ahora bien, si lo que vos deseás calcular no requiere esencialmente la ''norma'', podés obviarla en los cálculos. En este caso, si tenés que calcular derivadas parciales... bueno, tenés que normalizar(después de todo, obtenés vectores que son múltiplos). De igual manera, en la cursada de este año se decidió dar todos los vectores normalizados. La ventaja que tienen es que, bueno, hacen estas ''cuentas más fáciles''(...). Espero haberte ayudado, eivanec. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
La fórmula \(\frac{\partial f}{\partial v} (p) = <\nabla f(p), v>\) vale para cualquier vector \(v\). De hecho, fijate que si normalizás el vector \(v\), también lo tenés que normalizar en el producto interno, y entonces salen constantes de los dos lados, que se compensan. En este ejercicio, las cuentas que vos planteás están mal porque las igualdades son tomando producto interno con \(v\) sin normalizar. Saludos.
Luego, como el límite existe, podés aproximar por rectas, en particular, por \(X\eq={X}_{0}+tv\), y el límite sigue siendo el mismo:
\(\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f({X}_{0}+tv)-f({X}_{0})-<a,tv>}{||tv||}\eq=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f({X}_{0}+tv)-f({X}_{0}}{|t|||v||}-\frac{<a,tv>}{|t|||v||}\eq=0\).
Fijate que quedó la derivada en la dirección ''v'', y simplificando adecuadamente, despejás y tenés:
\(\frac{{f}_{v}({X}_{0})}{||v||}\eq=\frac{1}{||v||}<a,v>\).
Acás se te simplifica ||v|| y te queda la fórmula que no depende de ||v||. Luego, las deducciones son las mismas que antes; tomás la dirección \({e}_{i}\), y tenés:
\({f}_{{x}_{i}}({X}_{0})\eq={a}_{i}\), y te queda la clásica fórmula(usé que era diferenciable; por eso el límite del principio es 0).
Gracias por corregir, Yossarian. No me di cuenta y escribí un grave error. Perdón si confundí.
