[A Resolver] Plano Tangente

Vi esto y me asuste... es de implicita no?

Escribir, si existe, la ecuacion del plano tangente a grafico F en el punto \((0,1,f(0,1))\)

Me parece que lo que te pide es estudiar la diferenciabilidad de F en (0,1)

Si vi unos asi y te asustas cunado los ves, me parece que son para q te vuelvas loco sacando las derivadas parciales (recorda que el plano tangente es algo asi \(z = f(0,1) + F_x(0,1)(x) + F_y(0,1)(y-1)\) ). El truco (si es como el ejercicio parecido que hice) recae en sacar las parciales por definicion y se te hace todo muy facil.
Suerte !

No, no es de implícita. Fijate que en realidad, vos cuando decís el ''plano tangente a una función en un punto'', estás siendo informal; en realidad, lo que calculás es el ''plano tangente a la gráfica de la función'', y la gráfica de la función es un conjunto de \(\mathbb{R}^{3}\), no de \(\mathbb{R}^{2}\). Por eso te pide el plano tangente en el \((0,1,f(0,1)\), porque la gráfica de la función es \(Gr f\eq=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:(x,y)\in D,\;z\eq=f(x,y)\}\), con D el dominio donde definís a f. Es decir, el susto es por una cuestión conceptual. No te asustes, no es nada que no hayas calculado. Espero haber aclarado. Ante cualquier duda, alguno seguro plantea la resolución. Suerte.

Me parecia q era la formula del plano lo q tengo q usar, pero las derivdas parciales de esa cosa en el \((0,1)\) deberia usar la parte de abajo ??? osea q \(F_x(0,1) = 0\;\; y\;\; F_y(0,1)=0\) o tengo q sacar las derivadas parciales de la cosa mutante de ahi arriba? jajajaa......

Saludos gracias

Tenés que usar la definición; en efecto, lo mejor es estudiar, en cada caso, a la función como de una variable; fijate que si dejás constante la x(es decir, vas a derivar respecto de y), tenés que fijar x=0. Luego, fijate que la expresión enorme se te reduce a \(f(0,y)\eq=6-4y,\;y\neq 1\). Y calcular esta derivada parcial es fácil(pero tenés que usar la definición, no te olvidés). Y te queda \({f}_{y}(0,1)\eq=-4\).
De manera análoga procedés con la derivada parcial respecto de x; si fijás la y=1, la gran expresión se te reduce a \(f(x,1)\eq=3x+2,\;x\neq 0\). Y si calculás la derivada por definición, te queda \({f}_{x}(0,1)\eq=3\) Como \(f(0,1)\eq=2\), ya tenés todo para estudiar diferenciabilidad... es cuentoso, pero no es terrible. Perdón que lo recalque, pero ojo que usé la definición(es decir, el límite) para calcular las derivadas parciales; no derivé las rectas que me quedaron. Si necesitás más detalles, avisá. Espero haber aclarado(otra cosa, NO SE TE OCURRA derivar la expresión que tenés al principio. Eso en general está mal; tenés que probar muchas cosas para verificar que la derivada existe... por ese camino. Esto no es un ''truco''; es aplicar la definición pura de derivada)

Editado 1 vez.

Gracias!!!!

Hola, estuve tratando de resolver este ejercicio y como es tan feo intente ver si no era continua y tomando \((x,mx+1)\rightarrow(0,1)\) cuando \(x\rightarrow0\) creo que da algo distinto a dos. Si alguien puede confirmarlo...

Saludos!

Tomando la recta que dijeron más arriba a mi tampoco me quedó continua en el punto. Fiense si les da lo mismo porque es medio confuso a la hora de hacer cuenterío semejante función.

Con esa curva me quedo algo asi:

y cuando x tiende a cero, esa cosa tiende a \(\frac{0}{2}\) es decir 0
Eso si es que hice bien las cuentas. Igual traté de acotar el límite y no pude

\(\small \left|\frac{3x^3+x^2(y^2-6y+7)+(y-1)^2(6x+12-8y)}{x^2+2(y-1)^2}-2\right|\leq \frac{|3x^3+x^2((y-1)^2-4y+6)+(y-1)^2(6x+12-8y)-2(x^2+(y-1)^2)|}{x^2+(y-1)^2}\)

Ahora tomando \(|y-1|\leq\delta\leq\frac{1}{2}\) me queda que \(y\leq\frac{3}{2}\) Con lo cual la función anterioar me queda:

De acá puedo sacar una \(||(x,y)-(0,1)||^2\) como factor comun y también acotar a x:

Y de ahí no pude seguir jajaja

Creo que en el denominador te queda:

si depende de m, ya está no es continua...asi que no es diferenciable y no existe plano tangente, creo que eso esta bien. y además frangipani no lo pudo acotar: le queda un 2 sumando...que no se puede usar porque \(\epsilon-2\) seguro es menor a 0

jajaja sisisi me mandé el choclaso y la pifie en el denominador che XD
Buenísimo!

Entonces basta con demostrar así que f no es continua en el (0,1) y listo. Ahí termina el ejercicio,ne?

claro: diferenciable\(\Longrightarrow\)continua

no continua\(\Longrightarrow\) no diferenciable

Hola.

El límite por \(y = mx+1\) es \(2\).

Saludos.

A mí me da que depende de m!!
no puedo creer que todavía no sepa sumar ni distribuir!! 😆
estás seguro don equis que es 2?

Hola.

Perdón por tardar en responder.

Trasladándolo al origen quedaría:

Operamos:

Nos queda:

Agrupando convenientemente:

Los dos primeros términos se van a \(0\) por el teorema de \(0 \times \,acotada\) y el segundo se va a \(2\).

Saludos.

Edito: Al final estudié la continuidad, no los límites por la curva \(y = mx+1\).

Hola, quizas esto que diga sea de ignorante, pero:
Al calcular las derivadas parciales, usando reglas...
la derivada parcial de f respcto de x, te queda (usando regla de "division") con un denominador que es igual a 0, ya que es el denominador de la funcion elevado al cuadrado (por la regla).
Por lo tanto, no existe la derivada parcial en el punto, y eso implica que no es diferenciable, ni existe el plano tangente.

POR FAVOR SI ESTOY HACIENDO CUALQUIER COSA QUE ALGUIEN ME CORRIJA ANTES DEL SABADO Q TENGO EL PARCIAL ^^

Creo, y no estoy segura, que tendrías que buscar las derivadas parciales por definición.
Porque puede que existan pero no sean continuas.
Eso no implica que no sea diferenciable, (es decir, no implica que no exista plano tangente en el punto), solo implicaría que no es c1, pero eso no niega diferenciabilidad.

En otras palabras calculá la derivada direccional por definición XDDD

Quizas no se entendio:
Lo que yo quise decir es q calculando la derivada parcial por reglas de derivacion,
obtengo:
\(\frac{algo}{(x^2+2(y-1)^2)^2}\) y como tengo que evaluar en el (1,0) obtengo 0 en el denominador, por lo tanto la derivada en ese punto no existe 😉

Corrijanme 🙂

Gonn escribió:

Hola, quizas esto que diga sea de ignorante, pero:
Al calcular las derivadas parciales, usando reglas...
la derivada parcial de f respcto de x, te queda (usando regla de "division") con un denominador que es igual a 0, ya que es el denominador de la funcion elevado al cuadrado (por la regla).
Por lo tanto, no existe la derivada parcial en el punto, y eso implica que no es diferenciable, ni existe el plano tangente.

POR FAVOR SI ESTOY HACIENDO CUALQUIER COSA QUE ALGUIEN ME CORRIJA ANTES DEL SABADO Q TENGO EL PARCIAL ^^

calculando las derivadas parciales me dieron un número (no me acuerdo cuál). Como dice frangipani tenés que usar definición y no reglas
Si no existe una derivada parcial, no es diferenciable en el punto y listo....como vos decís. Pero las derivadas parciales existen....así que hay que armar el límite diferencial.Creo que la clave es probar que no es continua así resulta no diferenciable....sin embargo don equis probó que es continua....
En definitiva....si no es continua joya, pero si es tenes que calcular derivadas parciales por definición si o sí....si existen ambas armate el límite y demostrá que da 0

Perdon si soy molesto, pero quiero sacarme todass las dudas...
Si yo derivo, eso no seria hacer:
(numerador derivado)por (denom sin derivar) - (denom derivado)por (num sin derivar)
TODO ESO DIVIDIDO el denominador elevado al cuadrado...
Si ese "denominador elevado al cuadrado" elevado en el punto que yo quiero saber la derivada parcial se me anula ¿no estariamos hablando de discontinuidad en ese punto??

Gracias

No, justamente por eso.
Mirá, si vos querés saber si son continuas lo que tenés que hacer es lo siguiente.

1)calcular por definición las derivdas parciales en el (xo,yo) y te va a dar un número en este caso
2)calculás por reglas de derivación y te fijás el límite de (x,y) tendiendo a (xo,yo) de esa nueva función que te dio, si ese límite tiende al resultado que te dio en 1)

Ah, ok.
Lo mio era utópico... sepan entender que me ahorraba un paso muy grande ^^
Demasiado bueno para ser real jaja

Gracias por responder, ni me lo merecia :S

jajaja. Tu pregunta no tenía nada de tonto. Y yo de hecho lo consultaría con un profe para estár más seguros

Igual lo mejor siempre es calcular el lim y ver en efecto si es diferenciable o no 😛

No está definida para el (0.0) lo cual NO significa que no exista. De hecho, existe, si lo calculás por definición como ya dijeron te da un número.
La derivada puede no ser continua y la función puede igualmente ser diferenciable.
Lo que dice un teorema es que si vos probás que las derivadas parciales son continuas, probaste que es diferenciable, pero no vale la afirmación al revés.

Ahhhhhhhhhh!!! recien ahora me doy cuenta :$
Gracias agustina por sacarme la duda... ahora veo porq tengo q calcularla por definicion... es muy claro 😉

Gonn escribió:

Ahhhhhhhhhh!!! recien ahora me doy cuenta :$
Gracias agustina por sacarme la duda... ahora veo porq tengo q calcularla por definicion... es muy claro 😉

No, no hay por qué agradecer. 😄

Hola.

Si no me equivoco, es necesario que una función racional tenga derivda continua para ser derivable. Sale del teorema del valor medio de Lagrange.

Saludos.

Don Equis escribió:

Hola.

Si no me equivoco, es necesario que una función racional tenga derivda continua para ser derivable. Sale del teorema del valor medio de Lagrange.

Saludos.

"Sea \(A\in\Re^n, p\in\A , f A->\Re^n\), si existen todas las derivadas parciales de f y son continuas en x=p entoncess f es diferenciable en p.

Obs: La recíproca es falsa".

No lo digo yo, lo dijeron en la teórica y además nos dieron un ejemplo para comprobarlo que es muy fácil.

Ver que la función

(es una función partida, que no sé como escribirla acá...)
Se puede ver que f es diferenciable en el origen.
Existen ambas derivadas parciales y valen 0.
Existen ambas derivadas parciales en todo \(R^2\)
Sin embargo, si haces tender las derivadas parciales al origen, vas a ver que no son continuas. Es decir que el límite no te da cero.

Bueno, eso, buena suerte a todos 🙂

Hola.

¡Pero esa no es una función racional!

Saludos.

Edito: Por cierto, hay un error en el enunciado. La cosa es así: si existen todas las derivadas parciales y son continuas en \(p\) y todas salvo quizás una son continuas en un entorno de \(p\), entonces la función es diferenciable en \(p\).

Don Equis escribió:

Hola.

¡Pero esa no es una función racional!

Saludos.

Edito: Por cierto, hay un error en el enunciado. La cosa es así: si existen todas las derivadas parciales y son continuas en \(p\) y todas salvo quizás una son continuas en un entorno de \(p\), entonces la función es diferenciable en \(p\).

La verdad, lo copié tal cual 🙁
Igual está bien, seguramente tenés razon pero bueno, nadie nos dijo a qué tipo de funciones es aplicable el teorema, o quizás si y yo no lo tengo..
Gracias por la correccion Don Equis 🙂

Hola.

El teorema es aplicable a todas las funciones. La cuestión es que como el recíproco es falso, ahí es donde hay que hilar más fino. En la discusión Sobre las discontinuidades de una función derivada planeo profundizar un poco más al respecto (igual veo que muy interesante no le pareció a la gente :S).

Saludos.

Creo que lo que quizo poner Agustina en el enunciado es que sean continas en un entorno(o una bola, es lo mismo) de p.

Volviendo al topic:

Para sacarles la duda a varios, da continua con la recta \((x,mx+1)\):

No hay trucos de fotografia ni nada ehh.... 😆

En el 1º parcial tomaron uno parecido, tenes que hacer las derivadas por definicion, y la parte dificil es probar que esa cosa de ahi arriba es diferenciable, tomando limite tiene q dar 0 \(\lim_{||h|| \to 0}{\frac{f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-Df(x,y) \cdot h}{||h||}}\) siendo \(h=(h_1,h_2)\) y las derivadas parciales las hiciste por definicion, asi q existen...

Cuando probaste que f es diferenciable, podes usar plano tangente:

Usas que \(Df(p)\cdot (p-p_0) = N\), donde N es la normal al plano tangente al grafico de la funcion en \(p_0=(0,1)\) y \(p\) es de la forma \(p=(x,y)\)

Y despues... \(\Pi:Df(p)\cdot (p-p_0)+f(p_0)\)

PD: La parte que dice LIM2 para abajo calcula el limite absoluto de una funcion con dos variables, o sea internamente es lo mismo que si lo probara por definicion (o por infinitas curvas) es decir q por cualquier camino da continua.

El "truco" de este ejercicio es mandarse a hacer toda la distributiva del numerador...te queda una función mucho más fácil para acotar.