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¡Hola! Les dejo un ejercicio para que piensen. La idea es analizar la veracidad del enunciado (probar o dar contraejemplo).
Supongamos que \(f\) es una función derivable en todo su dominio definida de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\). Y supongamos también que \(a\) es un punto interior del dominio de \(f\). Analizar la implicación:
\(\displaystyle\lim_{x \to{a^+}}{f'(x)}=c \Longrightarrow{}f'(a)=c\). Es decir, si el límite lateral de la derivada existe, entonces la derivada toma ese valor.
Hola.
Comentaré que lo anterior es cierto y queda, por lo tanto, buscarle alguna demostración. No la propondré yo porque me parece un ejercicio interesante. Sí puedo, si se quiere, dar alguna pista de cómo lo encaré yo. Esto puede ayudar, como ya señalé antes en otra discusión, a definir cuándo una función es diferenciable y cuándo no. Si uno analiza una derivada parcial (o direccional) y encuentra que esta no es continua en el origen, entonces dependiendo del tipo de función que sea ya se puede definir si es o no diferenciable en el origen. Por ejemplo, si es cociente de polinomios, efectivamente no será diferenciable (porque esto exigiría la existencia de la derivada parcial, la cual ya hemos probado que no puede existir).
Pero la cuestión no termina acá. Todo el mundo recordará que si \(f\) es una función continua en un cerrado \([a,b]\) y se tiene que \(f(a)<f(b)\), entonces para todo \(d\in(f(a),f(b))\) existe \(\delta \in (a,b)\) de forma tal que \(f(\delta)=d\). Esto es una característica de las funciones continuas (no exclusiva, por supuesto). Les propondré, por lo tanto, demostrar el siguiente teorema (más difícil que el anterior, a mi parecer).
Si \(f\) es una función derivable en \([a,b]\), y si \(f'(a)<f'(b)\), entonces para todo \(d\in (f'(a),f'(b))\) existe \(\delta \in (a,b)\) de forma tal que \(f'(\delta)=d\).
¿No es maravilloso?
Saludos.