\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\), acotada y \(g:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\;g(x,y)\eq=x\cdot y\cdot f(x,y)\). Probar que \(g(x,y)\) es diferenciable en el \((0,0)\).
Notemos que \(g(x,y)\eq=x\cdot y\cdot f(x,y)\) es continua en \(\mathbb{R}^{2}\) por ser producto de funciones continuas en \(\mathbb{R}^{2}\), de ser \(f\) continua, pero no tenemos hipótesis de continuidad. Luego, no tenemos hipótesis de diferenciabilidad ni continuidad ni nada, con lo que no nos podemos tirar a derivar nada. Procederemos por la definición, entonces.
Calculemos \({g}_{x}(0,0)\):
\({g}_{x}(0,0)\eq=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(h,0)-g(0,0)}{h}\eq=0\)(noten que \(g(h,0)\eq=h\cdot 0\cdot f(0,0)\eq=0,\;g(0,0)\eq=0\))
Por la simetría de \(g(x,y)\), resulta que \({g}_{y}(0,0)\eq=0\). Ahora, como calculamos ya \(g(0,0)\eq=0\), sabemos que la ecuación del plano tangente en (0,0), de ser diferenciable g, es \(z\eq=g(0,0)+{g}_{x}(0,0)x+{g}_{y}(0,0)y\eq=0\). Luego, estudiemos el límite que define la diferenciabilidad de la función g en el (0,0):
Recordando que f es acotada, es decir, existe M>0 tal que \(|f(x,y)|\leq M\), y que \(|x|,|y|\leq ||(x,y)||\), obtenemos:
\(\frac{|x|\cdot |y|\cdot |f(x,y)|}{||(x,y)||}\leq \frac{{||(x,y)||}^{2}\cdot M}{||(x,y)||}\eq=||(x,y)||\cdot M<\delta\cdot M\).
Luego, si tomo \(\delta\eq=\frac{\epsilon}{M}\),obtengo:
\(|\frac{g(x,y)}{||(x,y)||}|<\epsilon\). Luego, concluyo que:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{|g(x,y)|}{||(x,y)||}\eq=0\), luego g es diferenciable en el (0,0), que es lo que queríamos probar.
Notemos que el ejercicio podría generalizar aún más; \(f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), acotada y \(g:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;g(X)\eq=\prod_{j\eq=1}^{n}{x}_{j}\cdot f(X)\), donde \({x}_{j}\) denota la coordenada j-ésima de X. Este ejercicio tiene la misma resolución que la anterior, y la misma dificultad.
Bueno, espero haber ayudado y aclarado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Absolutamente nada. No tengo hipótesis de continuidad acerca de \(f\). De igual manera, aún si no poseemos hipótesis de continuidad, mientras la función sea acotada, sigue la misma resolución. Ya lo edité. Gracias.
Perdon que sigo sin entender: sin (1/x) está acotada y sin embargo no es continua, y si yo tengo g = x·y·sin (1/x) no puedo decir que g(0,0) es cero porque no está definido en ese punto. No falta alguna hipótesis?
Pero \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\). Es decir, el dominio de definición de \(f\) es \(\mathbb{R}^{2}\); no puede no estar definida. \(\sin(\frac{1}{x})\) está acotada, pero el dominio de definición es \(f:\mathbb{R}-\{0}\rightarrow \mathbb{R}\). Es decir, si hubiera puntos en donde la función no estaría definidda, \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) está mal definida; el dominio debería ser \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\). Por ejemplo: la función \(f\) que asigna a cada racional el valor \(1\) y a cada irracional el valor \(0\) está acotada, está definida en \(\mathbb{R}\), pero no es continuaen ningún punto de su dominio. Sin embargo, sigue andando bien en la demostración, por ser acotada. Espero haberte aclarado; el problema estaba en la definición de función. Saludos.