a) Mostrar que \(\equ2{x}^{2}{z}^{2}-{y}^{2}{e}^{x+y}=2\) define una funcion \(\equ z=f(x,y)\) en un entorno del \(\equ(1,0,1)\)
b) Hallar un valor aproximado de \(\equ f(0,99;0,03)\) utilizando el polinomio de taylor de \(f\) de orden 1
Tema
[Resuelto] 1º cuat/2008 - Ej 1 - 2do P
a)Sea \({S}_{2}\eq=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} :2{x}^{2}{z}^{2}-{y}^{2}{e}^{x+y}\eq=F(x,y,z)\eq=2 \}\)
Para que valga el teorema de la función implícita, debemos verificar las siguientes hipótesis:
-\((1,0,1)\in {S}_{2}\). Esto se cumple, debido a que \(F(1,0,1)\eq=2\) (verificalo)
-\(F,\;{C}^{1}\), en un abierto \(D,\;(1,0,1)\in D\). Esto, si bien es evidente, lo vamos a justificar cuando saquemos las derivadas parciales(F es \({C}^{1}\) en todo R³)
-\({F}_{z}(1,0,1)\neq 0\). Ahora si, calculemos todas las derivadas:
\({F}_{x}(x,y,z)\eq=4x{z}^{2}-{y}^{2}{e}^{x+y}\). Evalúo en (1,0,1)... \({F}_{x}(1,0,1)\eq=4\)
\({F}_{y}(x,y,z)\eq=-2y{e}^{x+y}-{y}^{2}{e}^{x+y}\). Evalúo en (1,0,1)... \({F}_{y}(1,0,1)\eq=0\)
\({F}_{z}(x,y,z)\eq=4{x}^{2}z\). Evalúo en (1,0,1)... \({F}_{z}(1,0,1)\eq=4\neq 0\). Ahora, podemos probar nuestra afirmación anterior; todas las derivadas son continuas, luego es \({C}^{1}\), particularmente en todo R³, y la derivada \({F}_{z}(1,0,1)\neq 0\). Ahora, por el teorema de la función explícita, existe una función \(f:U\rightarrow R\), U, entorno abierto en (1,0) tal que es \({C}^{1}\) en U, \(f(1,0)\eq=1\), \(F(x,y,f(x,y)\eq=2,\forall (x,y)\in U\). Esto era lo que queríamos probar.
b)Calculamos las derivadas parciales de f, que vienen dadas por:
\({f}_{x}(x,y)\eq=-\frac{{F}_{x}(x,y,f(x,y))}{{F}_{z}(x,y,f(x,y))}\). Entonces... \({f}_{x}(1,0)\eq=-\frac{{F}_{x}(1,0,f(1,0))}{{F}_{z}(1,0,f(1,0))}\eq=-1\)
\({f}_{y}(x,y)\eq=-\frac{{F}_{y}(x,y,f(x,y))}{{F}_{z}(x,y,f(x,y))}\). Entonces... \({f}_{y}(1,0)\eq=-\frac{{F}_{y}(1,0,f(1,0))}{{F}_{z}(1,0,f(1,0))}\eq=0\)
Además, \(f(1,0)\eq=1\).
Ahora si, escribimos el polinomio de orden 1:
$${P}_{1,(1,0)}(x,y)\eq=f(1,0)+{f}_{x}(1,0)(x-1)+{f}_{y}(1,0)y\eq=1-x+1\eq=2-x$$
Luego, calculo \({P}_{1,(1,0)}(0,99;0,03)\eq=2-0.99\eq=1,01\)
Ese es el valor que busco.
Espero que haya servido la resolución. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
\(a)\)
$$\textrm{Para usar el Teo de la f. implicita debo ver 3 cosas:}$$
$$i)\textrm{La derivada de g, la funcion q nos dan, respecto de z no se tiene q anular en el entorno:}$$
$$g_z=4x^2z \Rightarrow g_z(1,0,1)=4\cdot1^2\cdot1=4\not=0$$
$$ii)\textrm{La funcion en el entorno debe ser igual a la curva de nivel q te dan:}$$
$$g(x,y,z)=2x^2z^2-y^2e^{x+y} \Rightarrow g(1,0,1)=2\cdot1^1\cdot1^2-0 =2$$
$$iii)\textrm{La funcion debe ser de clase $C^1$ en el entorno, o sea deben existir sus derivadas parciales en el entorno:}$$
$$g_x(1,0,1)=4$$
$$g_y(1,0,1)=0$$
$$g_z(1,0,1)=4$$
$$\textrm{Por lo tanto por Teorema de la funcion implicita queda probado q se {d}efine una funcion}$$
$$\textrm{implicita $z=f(x,y)$ en un entorno del $(1,0,1)$}$$
$$b)$$
$$\textrm{Para usar el pol de taylor necesito las derivadas parciales de la funcion implicita:}$$
$$f_x(1,0)=-\frac{g_x(1,0,1)}{g_z(1,0,1}=-1$$
$$f_y(1,0)=-\frac{g_y(1,0,1)}{g_z(1,0,1}=0$$
Entonces el pol de taylor de orden 1 es:
$$P_1(1,0)=f(1,0)+f_x(1,0)(x-1)+f_y(1,0)y$$
keda:
$$P_1(1,0)=-(x-1)$$
Por lo tanto \(f(0.99;0.03)\) aproximando con el ese pol de taylor es:
\(f(0.99;0.03)=-(0.99-1)=0.01\)
Espero q haya kedado claro y no me haya ekivocado en las cuentas....
Me kiero matar...en el parcial me confundi al hacer \(P_1(1,0)\)
🙁
Firma
como me cagaste marce.... xD
bueno por si no entendiste alguna de las resoluciones... TENES 2!!!
jaja
Son una máquina! Estaba tratando de escribirlo pero hubiera tardado mínimo veinte minutos más.
jajjaajaa a mi me gano exequiel q ta mas canchero con los posteos 😛
Perdón... no me di cuenta... jaja, quién imaginaba que todos íbamos a estar tratando de hacer el mismo ejercicio?
por lo menos ahora tiene 2 puntos de vista del ejercicio... o lo entienden o lo entienden XDD
jaja q cago de risa.
... o no lo entienden, o no lo entienden. Es un \(\Leftrightarrow\).
che....y por lo demas.....
este es un ejercicio de taylor???
yo mas bien lo pondria en diferenciacion... por ser de implicitas
Ese es el problema de las clasificaciones; no siempre es fácil diferenciar un tema(hay que estudiar el límite primero y ver si existe; puede no ser diferenciable... esto evidentemente es producto de la hora). Aunque si; anda mejor en ... diferenciabilidad? para mi entraría en TEOREMAS DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA E INVERSA, por lo importantes que son estos teoremas.
movido a diferenciacion 😛
Gracias, no tenia la mas palida idea de como encarar la parte b,