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Hola! No se si esta pregunta va en la parte de ejercicios de final, pero como es """"teorica""" la pongo aca.
El otro dia haciendo un ejercicio quise probar que una funcion estaba acotada. Entonces se me ocurrio proponer una cota y luego llegar a una absurdo, pero no pude llegar a concluirlo. Alguna Idea para darme? 💡
Saludos!
En general, si querés llegar al absurdo, podés pensar lo siguiente(esto es para mostrar que está acotada); suponete que podés restringir el dominio a un compacto \(K\in\mathbb{R}^{n}\)
Luego, si \(f\) no fuera acotada, existiría un \({X}_{1}\in K:f({X}_{1})>{y}_{1}\). De esta manera, te construís una sucesión de puntos \({({X}_{k})}_{k}\subseteq K\), y sabés que existe una subsucesión que converge algún punto del compacto. Esto es para probar que algo está acotado.
Si querés probar que una función no está acotada en el dominio de trabajo \(D\), basta probar que existe \({X}_{0}\in D:lim_{X\rightarrow {X}_{0}}f(X)\eq=+\infty\)(en este caso, hay serios problemas de continuidad). Sino, por ejemplo, tomá la función \(xy+{y}^{2}+x\). Su dominio de definición usual es \(\mathbb{R}^{2}\), pero en este dominio no está acotada, para ello, tomás los puntos de la forma \((0,y)\) y te queda la función \({y}^{2}\), que toma valores tan grandes como se quiere.
En general, si tenés una función definida sobre un conjunto ACOTADO(no necesariamente cerrado) si la función es continua, es acotada(aún más, es uniformemente continua si este conjunto es cerrado además).Si necesitás más ejemplos, avisá. Espero haberte ayudado.
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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Hmm... no se entiende bien... ¿quisiste probar que estaba acotada, supusiste que lo estaba y llegaste a un absurdo? Eso demostraría que NO está acotada...
Por otro lado, para esos casos, hay dos opciones. Podés por ejemplo calcularle el máximo y el mínimo global, y ver que son 3 y -18, por ejemplo, y entonces está acotada. O ver que está definida sobre un compacto, y entonces siempre está acotada... si no, no termino de verlo. ¿Cuál era concretamente la función?
Si, estaría bueno que pusieras el ejercicio, para que quede clara la duda mejor, si te parece.
ups, perdon. Lo que quise hacer es probar que la funcion NO estaba acotada. Entonces hice eso de proponer una cota y luego llegar a un absurdo. Me exprese mal. Ahora me fijo si encuntro el ejercicio y lo pongo. Igualmente era una duda que tengo en general.
Eso que decís puede andar. En general, para ver que una función no está acotada, buscas puntos \(x_n\) tal que \(f(x_n) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty\).
Muchas gracias! 🙂