Bueno, el final de este viernes. Pongo lo que pensé. Noten que todos los ejercicios los pueden extender a \(\mathbb{R}^{n}\) inmediatamente. Quedan como ejercicios aparte. Bueno, ahora si, el final(dejo los bosquejos de las resoluciones):
1)\(\textrm{Sean$\;a,b,c\in\mathbb{R}$\;tales\;que}\)
Luego, si \(a\neq 0\), el límite descrito claramente es\(+\infty\). Luego, \(a\eq=0\). Inmediatamente después se concluye \(b\eq=0\), pues queda \(\lim_{x\rightarrow 0}|b|\eq=|b|\eq=0\Leftrightarrow b\eq=0\). Para ver que pasa con \(c\), toman \(x\eq=0\) y llegan a las mismas conclusiones. Luego, \(a\eq=b\eq=c\eq=0\)
Notemos que \(h(a,b)\eq=f(a,b)g(a,b)\eq=0\). Además, si estudiamos las derivadas parciales de \(h\), tenemos(voy a dar el bosquejo; debería probarlo mejor, pero no es mucho más difícil):
De manera análoga calculo \({h}_{y}(a,b)\eq={f}_{y}(a,b)g(a,b)\) (si bien no escribí en detalle el límite, esto vale porque \(g\) es continua, y \(f\) diferenciable; uso ambas hipótesis)
Además, se que \(f\) es diferenciable, lo que quiere decir que dado \({\epsilon}_{1}>0\), existe \({\delta}_{1}>0:\;0<||(h,k)||<{\delta}_{1}\Rightarrow \frac{|f(a+h,b+k)-{f}_{x}(a,b)h-{f}_{y}(a,b)k|}{||(h,k)||}|<{\epsilon}_{1}\). También se que \(g\) es continua en \((a,b)\), vale decir, dado\({\epsilon}_{2}>0,\;\)existe \({\delta}_{2}>0:\;0<||(h,k)||<{\delta}_{2}\Rightarrow |g(a+h,b+k)-g(a,b)|<\{\epsilon}_{2}\)
Luego, estudio \(\frac{|f(a+h,b+k)g(a+h,b+k)-{f}_{x}(a,b)g(a,b)h-{f}_{y}(a,b)g(a,b)k|}{||(h,k)||}\eq=\frac{|f(a+h,b+k)g(a+h,b+k)-({f}_{x}(a,b)h+{f}_{y}(a,b)k)g(a,b)|}{||(h,k)||}\)
Sumando y restando dentro del módulo \(g(a+h,b+k)({f}_{x}(a,b)h+{f}_{y}(a,b)k)\), obtenemos, luego de agrupar adecuadamente:
Luego, tomando \(\min ({\delta}_{1},{\delta}_{2})\eq=\delta\), tengo acotado adecuadamente, y como es continua \(g\) en \((a,b)\), existe \(|g(a+h,b+k)|\leq {M}_{1}\), y llamando \(|{f}_{x}(a,b)|+|{f}_{y}(a,b)|\eq={M}_{2}\), queda:
El final no es tan duro. Eligo los epsilon adecuados y listo( no es muy difícil). Luego, puedo hacer la diferencia investigada tan chica como quiero, lo que quiere decir que el límite
Realmente este ejercicio es corto. Observemos que \(f\) es diferenciable, luego \({f}_{w}(P)\eq=0\eq=<\nabla f(P),w>,\;\forall P\in\mathbb{R}^{2}\).Y ya terminamos el problema... observemos que \(f\) es diferenciable en todo \(\mathbb{R}^{2}\), luego vale Lagrange. Luego...
. Primero notemos que \(f\) es continua sobre\(\mathbb{W}\), luego es integrable en la mencionada región. Aún más, se mantiene la desigualdad con las anteriores expresiones, pero ahora integradas:
Ahora bien, podemos aplicar el teorema del valor medio en la primera integral y en la segunda un cambio de coordenadas esféricas. En efecto(recordando que \(\mathbb{W}\) es el borde y el interior de una esfera de radio 2):
Solo una cosa; el ejercicio 2, que parece tan largo, es largo por la cantidad de letras a escribir, pero no lo es tanto en cuanto a idea.
Espero que haya ayudado y no haber cometido muchos errores. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Tengo otra solucion para el 1:
Uno sabe que la funcion \(f(x,y)=a + b x +c y\) es diferenciable y como \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{|a+bx+cy|}{||(x,y)||}\eq=0\) Debe valer que \(f_x=f_y=f(0,0)=0\) Y estos valores son precisamente a,b y c. Igual creo que habria que justificar un poco mas eso.
pregunta: en el ejercicio 2 ,en el primer limite q aparece, no deberia ser "- h(a,b)" al final...?que en particular también vale 0
pregunta 2: porq argumentando que g es continua saltas de g(a+t,b) a g(a,b)? o es q separas el limite como una multiplicacion tomando la derivada parcial de f con respecto a x por un lado y el limite de g(a+t,b) por otro??(debe ser eso si no me equivoco)
me quedaron esas dudas
Firma
Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
1º pregunta: para mi una ''f'' es una ''h''... en pocas palabras, si, ahora lo cambio.
2º pregunta: si \(g\) es continua en \((a,b)\) entonces, valen los siguientes límites:
El teorema de Lagrange asegura que si una función es diferenciable en un conjunto abierto \(D\), si se toma un segento de extremos \({P}_{1},\;{P}_{2}:\overline{{P}_{1}{P}_{2}}\subset D\), vale que existe \(P\in D:f({P}_{2})-f({P}_{1})\eq=\nabla(P)({P}_{2}-{P}_{1})\), con \(P\) en el segmento. Como es diferenciable \(f\) del ejercicio en \(\mathbb{R}^{2}\), vale el teorema para cualquier segmento de longitud finita. Espero haberte aclarado. Cualquier cosa, avisame. Saludos.
Buenas. Perdon si la pregunta es demasiado simple, pero, cerca del final del ejercicio 2, cuando concluís que M_1.epsilon_1 + M_2.epsilon_2 es mayor que todo lo anterior, después decís que basta elegir el epsilon adecuado. Es lo que no puedo entender y seguro que es una tontería! xD gracias!
No, está bien la pregunta; lo que tomás son los epsilon de manera que cuando sumes los productos te quede epsilon; es decir, fijate que \({M}_{2}\) puede valer \(0\). Luego, considerás el caso en el que vale \(0\) y el que no. Cuando vale \(0\), la cota te queda con \({M}_{1}{\epsilon}_{1}\), y a \({M}_{1}>0\), resulta que tomás \({\epsilon}_{1}\eq=\frac{\epsilon}{{M}_{1}}\) y listo. Si en cambio, \({M}_{2}>0\), tomás \({\epsilon}_{1}\eq=\frac{\epsilon}{2{M}_{1}},\;{\epsilon}_{2}\eq=\frac{\epsilon}{2{M}_{2}}\), para que cuando hagas la cuenta, te queden sumando \(\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\eq=\epsilon\). Esta es una posibilidad de elección de los \(\epsilon\). Esper haberte aclarado. Saludos.
A mi se me ocurrió que también podes tomar \({\epsilon}_{0}\eq=\max ({\epsilon}_{1},{\epsilon}_{2})\) y entonces te queda que basta tomar \({\epsilon}_{0}\eq=\frac{\epsilon}{{M}_{1}+{M}_{2}}\)
Espero que este bien 😛
Si; es una cota que me gusta más que la mía; igual podés tomar \(\epsilon\), de muchas maneras distintas. Lo más importante del ejercicio es llegar a \({M}_{1}{\epsilon}_{1}+{M}_{2}{\epsilon}_{2}\).
Che, yo el 2 lo resolví usando álgebra de límites en el límite para ver si h es diferenciable (no lo escribo porque es largo, y con el tex tardaría horas).. O sea, terminé llegando a que h es diferenciable si y sólo si g(a;b) * (el límite para ver si f es diferenciable) = 0; lo cual se cumple claramente porque f es diferenciable..
No sé, es otra forma de hacerlo, para los que no nos llevamos muy bien con los epsilon y los delta..
hola si que tal....queria saber si me pueden contestar una pregunta? tu tu tu tu....
jajaja!! no de de donde sacastes los valores para la \({\iiint_{W}{} - \frac{1}^{\pi}}\) ??
gracias!!..
\(\iint _{W} -\frac{1}{\pi}\,V\eq=-\frac{1}{\pi} \iint_{W} 1\,dV\eq=\frac{1}{\pi} V(W)\) donde \(V(W)\) es el volumen de la región \(W\). Como es una región esférica, vale \(\frac{4}{3}\pi {r}^{3}\), donde \(r\) es el radio de la esfera.
Estrictamente, tendría que calcular \(\iint_{W} 1\,dV\) a mano... pero sabés que va a dar por eso, por lo que digo.
Espero haberte aclarado.