Buenas, dejo este ej, la verdad no tengo ni idea que hacer, tengo un par de ideas considerando como es el grafico de la funcion pero no se como expresarlas.Supongo que la sugerencia es para usar el teorema del valor medio para integrales, si es que asi se estima una integral.En fin...
Analizar la convergencia y convergencia absoluta de la siguiente integral impropia
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x}dx$$
sugerencia: para \(k\in\mathbb{N}\), estimar el valor de \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{senx}{x}dx\)
Un dato extra, se demostro que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{senx}{x}dx = \frac{\pi}{2}\), por lo que se, se demuestra con analisis complejo.
Desde ya muchas gracias.
He aqui una solución (asi me dijieron que salía, la verdad que no lo probre del todo, pero creo que esta bien)
Entre 0 y 1 converge porque el limite en cero existe, y en el resto del intervalo es continua, de 1 a infinito proba haciendo por partes, la integral que te queda la podes acotar
Firma
When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
Yo propongo otro camino; planteo el bosquejo y que alguien lo siga o yo después lo termino; una vez separada la integral, estudiás \(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx\).
si estudiás convergencia absoluta, y mirás el gráfico de la función, y separás el intervalo real \((\pi,+\infty)\) en los infinitos intervalos \((k\pi,(k+1)\pi),\;k\in \mathbb{N}\), y mirás la integral \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx\), podés pensar que la integral sobre \((\pi,+\infty)\) es la suma de todas esas áreas de los intervalos \((k\pi,(k+1)\pi)\), o sea, \(\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}{x}dx\), y ahora tenés una serie de términos positivos, que podés trabajar con los métodos usuales de series de términos positivos. Me parece que esta integral no converge(basta hallar una subsucesión para la que la integral no converja), con lo que terminamos recurriendo a la integral de la función original
Para trabajar con la integral de la función original, uno podría intentar estudiar la suma de las áreas, que están alternadas, y después sumarlas; si la integral resulta condicionalmente convergente, cualquier reordenamiento de la suma de todas las áreas(considero área negativa cuando la función es negativa) puede dar cualquier número real(por ser condicionalmente convergente), con lo que hay que tener cuidado con que serie tomar. Habría que probar que \(\int_{k\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx\eq=\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx\)(no se todavía si esto es cierto; hay que verificarlo). Estas son ideas desprolijas; hay que justificar todo(y ver si la última proposición es cierta). Si alguien quiere seguir esta resolución, que la complete; sino veo si la termino en otro momento. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Por partes queda así:
\(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\cos(x)}{x}+\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}dx\) (talvez hay algun signo mal)
La integral que te queda la podes acotar facilmente, usá el modulo
Pero el limite de la primera parte existe? Me habian dicho que sí, pero ahora no lo veo, talvez me dijieron cualquiera
Sí, el límite a infinito de cos (x) / x es cero porque 1/x es cero, y cos (x) está acotada, así que está bien. Gracias por la resolución, al final creo que no era tan vueltera, entonces para qué la sugerencia?
No pueden acotar \(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{{x}^{2}}dx\) por \(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{1}{{x}^{2}}dx\) porque la función no es toda positiva. Y tampoco pueden aplicar partes con el módulo, porque no es diferenciable en los puntos \(\frac{\pi}{2}...\), o sea las raíces. En pocas palabras, que consigan esa expresión, no conduce a una cota aplicable, porque el criterio de comparación sirve para integrales positivas. A menos que hagan otro estudio sobre \(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{{x}^{2}}dx\)... fíjense lo que les digo.
No, estás acotando \(|\int{\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx|\), y se prueba que \(|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq \int_{a}^{b}|f(x)|dx\). Es decir, no estás acotando lo que querés.
Como esa integral converge, y \(\frac{\cos(x)}{x}\) tambien convergia, entonces la integral inicial converge
Ya la verdad nose, espero que no tomen impropias el martes 12, ni lo dieron en la teorica
Pero no entiendo, no podés decir que \(|\int{\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx|\)\(\leq\)\(|\int{\pi}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}dx|\) (porque hago partes por dentro, y despues desigualdad triangular, y entonces como dijiste que se prueba que \(|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq \int_{a}^{b}|f(x)|dx\), meto el módulo adentro?
Por partes queda así:
\(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\cos(x)}{x}+\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}dx\) (talvez hay algun signo mal)
La integral que te queda la podes acotar facilmente, usá el modulo
Pero el limite de la primera parte existe? Me habian dicho que sí, pero ahora no lo veo, talvez me dijieron cualquiera
Si hacés partes de nuevo, aparece \(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{{x}^{3}}dx\), y esa se la puede comparar usando el criterio de paso al limite con \(\frac{1}{{x}^{2}}\) y el limite da 0 y entonces la integral con la que comparamos converge y creo que sale por ahi para convergencia no absoluta.
Para la convergencia absoluta se me ocurre usar el criterio de la integral de Cauchy. Sea la serie \(\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\frac{|\sin(k)|}{k}\), si esta serie converge entonces la integral impropia que queremos averiguar converge. Y ahora viene el chamuyo, tomemos \(m = min\{|\sin(k)|: k\in\mathbb{N}\}\), que nunca va a ser 0 porque el seno nunca se anula en valores naturales. Entonces el m es un numero mayor que 0 y menor a todos los numeradores de nuestra serie. Luego podemos escribir \(\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\frac{|\sin(k)|}{k} \geq \sum_{k\eq=1}^{+\infty}\frac{m}{k}\), y como \(m\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\) diverge, por comparacion, la otra diverge. Y entonces la integral original diverge por el criterio de la integral de Cauchy. Entonces no converge absolutamente.
Ninguno siguió mi camino? No pueden acotar la integral, con el criterio, como dijo Juanma, porque no es estrictamente decreciente, y no es una integral de una función positiva. No vale ningún criterio de ese estilo. Aún así, la integral \(\int_{\pi}^{+\infty}\frac{cos(x)}{{x}^{2}}dx\) converge, porque lo hace absolutamente. Aun así, hay algo que están haciendo mal:
\(\int_{\pi}^{r}\frac{\sin(x)}{x}dx\eq=-\frac{\cos(x)}{x}{{|}^{r}}_{\pi}-\int_{\pi}^{r}\frac{\cos(x)}{{x}^{2}}dx\).
Y ahora aplican límite, con \(r\rightarrow +\infty\). Hay algo que no me gusta de esta resolución... pero no logro verlo... no obstante, si usan el método que yo dije, pueden incluso acotar la integral, y bastante bien(creo que daba muy cerca a \(\frac{\pi}{2}\), como se indicó al principio). De igual manera, hay que estudiar la convergencia absoluta, pero ya es más fácil...
Consideremos \(k\pi \leq x \leq (k+1)\pi entonces \frac{1}{(k+1)\pi}\leq \frac{1}{x}\leq \frac{1}{k\pi}\) dependiendo si \(k\) es par o impar nos queda que, si k es par \(\frac{senx}{(k+1)\pi}\leq \frac{senx}{x}\leq \frac{senx}{k\pi}\) y si k es impar, cosa que senx es negativo en el intervalo \([k\pi;(k+1)\pi]\) llegamos a \(\frac{senx}{k\pi}\leq \frac{senx}{x}\leq \frac{senx}{(k+1)\pi}\).
Si k es par \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{senx}{(k+1)\pi}\leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{senx}{x}\leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{senx}{k\pi}=\frac{2}{k\pi}\)
Si k es impar entonces \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{senx}{(k)\pi}\leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{senx}{x}\leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{senx}{(k+1)\pi}=\frac{-2}{(k+1)\pi}\)
Para mi la igualdad que planteo exequiel \(\int_{k\pi}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx\eq=\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx\) es valida, yo la habia pensado pero no se me habia ocurrido como seguir.
Bueno si esto vale entonces podemos acotar\(\sum_{k\eq=1}^{+\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx \leq \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{2}{(k)\pi}+\frac{-2}{(k+1)\pi}}\) (realmente estoy abusando demasiando de la notacion, habria que escribir bien todo el tema de separar los casos pares de los impares, pero espero que la idea se entienda, cuando k es par acoto por \(\frac{2}{(k)\pi}\) y cuando es impar lo hago por \(\frac{-2}{(k+1)\pi}\) luego me quedaria definida la suma telescopica que puse antes) Como acabo de decir es telescopica asique la podemos calcular \(\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{2}{(k)\pi}+\frac{-2}{(k+1)\pi}=\lim_{k \rightarrow +\infty} {\frac{2}{\pi}-\frac{2}{(k+1)\pi}}= \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{2k}{(k+1)\pi}=\frac{2}{\pi}\) a esto hay que sumarle \(\int_{0}^{\pi}\frac{senx}{x} \leq\pi\) entoces todo nos queda \(\int_{0}^{+\infty}\frac{senx}{x}dx \leq \pi+\frac{2}{\pi}\)
Bueno, esto es un quilombo, hay mucho lio de notacion pero es una idea(no es mi, becker dio una ayudita un dia que le fuimos a preguntar algo con unos amigos, pero no daba para decirle que haga el ej entero) realmente nose si esta bien o mal,asique no fien de eso, de ultima sirve como idea que se yo 😕 . Hay que pulir un monton de cosas.
exequiel como fue que acotaste???
Yo lo pensé así. Me faltó darle los toques finales a la demostración nada más. Para mi, la otra resolución tiene algo mal, y no logro hallar donde está el error(o simplemente soy muy obstinado, y no quiero aceptar que haya un camino más rápido).
si separo la integral en 2 pedazos y agarro el extemo inferior, digamos el cacho [0,b] tomo limite y le aplico el teorema del valor medio de lagrange al seno, el limite existe me da 1, entonces converge no?.. esto vale? otra que se me ocurrio es hacer taylor de orden 2 al seno y me queda algo similar.. sirve de algo?
Para la convergencia de la condicional, los que gusten, pueden seguir el siguiente camino:
Toman la función \(f(x,y) = \displaystyle\int_0^\infty e^{-xt}\displaystyle\frac{sen(yt)}{t}dt\)
Deriven con respecto a \(x\) sabiendo que \(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int f dy = \displaystyle\int \frac{df}{dx}dy\)
Utilizando la fórmula de Euler y operando hallen \(f(0,y) = \displaystyle\frac{\pi}{2}\displaystyle\frac{y}{\left |{y}\right |}\) si \(y\neq0\) y \(0\) si \(y=0\).
Si preguntás si querés probar que el pedazo \(\int_{0}^{b}\frac{\sin x}{x}\,dx\) existe, con los dos razonamientos que decís, estás en lo correcto. O sea, lo que te dice que el límite exista es que podés redefinir la función de manera continua, o sea, pidiendo que en el 0 valga 1, y tenés la integral sobre un cerrado de una función continua, que existe. O sea, lo que probás es que existe \(\int_{0}^{b}\frac{\sin x}{x}\,dx,\forall b>0\).