FINAL 19 de mayo de 2004
1)
Sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^\infty\) tal que \(|\bigtriangledown f|\leq3\) y \(f(1,2)=1\). Probar que \(max\{f(x,y):x^2+y^2\leq1\}\leq 4+3\sqrt5\)
FINAL DICIEMBRE 2006
2)
Sea \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una funcion de clase \(C^1\) tal que \(f(0)=0\)
a) Demostrar que \(max|f(x)|\leq max|f'(x)|\) con \(x\in[0,1]\)
b) Demostrar que si \(f\) es de clase \(C^2\) y ademas \(f(1/2)>f(1)>0\) entonces \(max|f'(x)|\leq max|f''(x)|\) con \(x\in[0,1]\)
Bueno, creo que el primero sale así:
\(f\) es de clase \(C^{\infty}\), en particular \(f\) es diferenciable. Luego, Sea \(P_{1}\) tal que \(f(P_{1})= max\{f(x,y)\; : \; x^{2} + y^{2} \leq 1 \}\), y sea \(P_{2}=(1,2)\). Como el segmento de extremos \(P_{1}\) y \(P_{2}\) está contenido en \(\mathbb{R}^{2}\), y la función está definida en \(\mathbb{R}^{2}\), el Teorema del Valor Medio para varias variables me dice:
Existe \(P \in \overline{P_{1}P_{2}}\) tal que \(f(P_{2}) - f(P_{1}) = \bigtriangledown f(P) \cdot (P_{2}-P_{1})\)
En particular, \(f(1,2)-f(P_{1}) = \bigtriangledown f(P) \cdot ((1,2)-P_{1})\)
Luego, \(1-\bigtriangledown f(P) \cdot ((1,2)-P_{1})=f(P_{1})\)
Quiero ver entonces que \(f(P_{1}) \leq 4+3\sqrt5\)
Basta ver que \(|f(P_{1})| \leq 4+3\sqrt5\)
\(\leq 1 + ||\bigtriangledown f(P)||\cdot ||(1,2)|| + ||\bigtriangledown f(P)||\cdot ||P_{1}|| \leq 1 + 3\cdot \sqrt5 + 3 \cdot 1 \leq 4 +3\sqrt5\), como queríamos.
Lo que usamos ahí es un poco de desigualdad triangular deformada, una pisca de que \(|\bigtriangledown f(X) \cdot h | \leq ||\bogtriangle f(X)||\cdot||h||\), y por último, que como \(P_{1}\in \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\; : \; x^{2}+y^{2}=1\}\; \Longrightarrow ||P_{1}||=1\)
Luego \(f(P_{1})\leq 4+3\sqrt5\), como queríamos ver.
Saludos, espero que esté bien, chequeen por favor, me fui a dormir 😛
Edit: si, jaja, ahí los ví, gracias.
P.D: Evidentemente sigo acá, 😛 no me podía dormir.
Acá va el otro: a).
Como \(f\) es \(C^{1}\; \Longrightarrow f\) es derivable en \(\mathbb{R}\), y aún más, es contínua en \(\mathbb{R}\).
Sea \(a\in [0,1]\) un punto tal que \(|f(a)|= max|f(x)|\) , \(x\in[0,1]\).
Veamos que el caso \(a=0\) vale, pues \(|f(0)|= max|f(0)|= 0 \leq max|f^{'}(x)|\quad x\in[0,1]\)
Ahora, si \(a\not=0\) , luego como \(f\) es contínua y derivable en \(\mathbb{R}\), en particular en \([0,a]\), uno de los teoremas de Lagrange me dice:
\(f(0) - f(a) = f^{'}(c)\cdot (0-a)\) , para algún \(c\in(0,a)\).
Como \(f(0)=0\), ordenando tengo \(f(a)=-f^{'}(c)\cdot a\).
En particular, \(|f(a)|=|f^{'}(c)\cdot a|=|f^{'}(c)|\cdot |a|\)
Luego, \(max|f(x)|=|f(a)|=|f^{'}(c)|\cdot |a|\leq |f^{'}(c)| \leq max|f^{'}(x)|\quad x\in[0,1]\) , (usé que \(|a|\leq 1\) )
Es decir, \(max|f(x)|\leq max|f^{'}(x)|\quad x\in[0,1].\)
Y el otro: b).
Como \(f\) es \(C^{2}\; \Longrightarrow f\) es \(2\) veces derivable, y en particular, \(f^{'}\) es contínua en \(\mathbb{R}\).
Como ademas \(0<f(1)<f(\frac{1}{2})\) , existe \(d\in(0,1)\) tal que \(f^{'}(d)=0\).
Sea además \(h\in[0,1]\) un punto tal que \(|f^{'}(h)|=max|f^{'}(x)|\) , con \(x\in[0,1]\).
Si \(h=d\) , la desigualdad de la parte b). del enunciado vale, pues \(|f^{'}(h)|=|f^{'}(d)|=max |f^{'}(d)|=0 \leq max |f^{''}(d)|\).
Ahora, si \(d\not=h\) , se sigue que como \(f^{'}\) es contínua y derivable en \(\mathbb{R}\), en particular en \([d,h]\) , uno de los teoremas de Lagrange dice que:
\(f^{'}(d)-f^{'}(h)=f^{''}(\xi)\cdot(d-h)\) para algún \(\xi\in(d,h)\) (acá quizás abuso suponiendo que \(d\leq h\) al construir el intervalo \([d,h]\), pero es análogo si \(h\leq d\), usando el intervalo \([h,d]\) ).
Como \(f^{'}(d)=0\), ordenando un poco \(f^{'}(h)=-f^{''}(\xi)\cdot(d-h)\).
En particular, \(|f^{'}(h)|=|f^{''}(\xi)\cdot(d-h)|=|f^{''}(\xi)|\cdot |(d-h)|\).
Luego, \(max|f^{'}(x)|=|f^{'}(h)|=|f^{''}(\xi)|\cdot |(d-h)|\leq |f^{''}(\xi)| \leq max|f^{''}(x)|\) , \(x\in [0,1]\)
(usé que \(|d-h|<1\) )
Es decir, \(max|f^{'}(x)|\leq max|f^{''}(x)| \quad x\in[0,1]\)
Bueno, a la espera de que os sirva, chequeen por favor y avisen si cometí errores . Un Saludo 😄
Edir: ahí arreglé creo, eso me pasa por no querer separar los casos, espero que esté bien ahora.
Detalle importante del 2 a) : (Ahora te vengo a romper las bolas a vos con los detallitos,jajaja) c pertenece al abierto (0,a) no al cerrado, segun el Teorema, acordate q es un punto intermedio, sino podria ser 0 u a y sería uno de los extremos del segmento (lo mismo con el "3" q usas en el 2 b) )
eso nomás 😄
Firma
Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
Para el problema 1 yo encontré una cota aún menor... pero no estoy seguro.
¿Alguien puede decirme si es correcto mi razonamiento?
Yo pensé en buscar el punto màs lejano del A = (1,2) sobre la circunferencia de centro en 0 y radio 1. Tengo el punto (-1/raizde5, -2/raizde5) = B
Ahora pensé, como el gradiente tiene mòdulo menor o igual qe 3, supuse que para el mejor de los casos (donde se obtendría un crecimiento màximo) el gradiente valga constantemente 3. Ahora supongo que dicho gradiente apunta a la dirección del punto B, el màs lejano al A, pues de este modo el crecimiento de la f será mayor pues la variable se incrementa más.
Bien, de aquí, si el gradiente es constantemente 3 se tiene la relación 1 es a 3 como x es la distancia (AB). De aqui obtenemos que x = 2+2(raizde5)/3
Pero como f(1,2)=1, la imagen de B sería 3+2(raizde5)/3 que es aún menor que 4+3raizde5
Bueno, dos cosas. Número uno, en principio no veo por qué tendría que haber algún error. Simplemente encontraste una mejor cota... No tiene por qué salirte justo el número que dice el ejercicio.
El tema es que tu razonamiento no es del todo válido, o por lo menos, no del todo claro. ¿Por qué el punto más alejado? ¿por qué el peor caso es cuando el gradiente vale 3? Todo eso se puede justificar mejor, y tal vez tenés algún error en las cuentas, pero en principio tu idea no es mala, ni equivocada.
El tema es así. Yo pensé tomar un gradiente constantemente 3 porque el módulo del mismo es menor o igual que 3. Entonces si vale siempre 3 tendré que su tasa de crecimiento es la máxima posible, pues de lo contrario dicha tasa (el gradiente) podría variar su valor en menos que tres y crecería más despacio.
En segundo lugar, yo tomé el punto más alejado del (1,2) sobre la circunferencia porque como supuse un gradiente que en el mejor de los casos era siempre 3 (lo máximo posible) la función crecía en todas direcciones con la misma velocidad, luego cuanto mayor fuera la distancia, mayor sería el crecimiento.
Bueno eso nomás... que me podés decir al respecto? ¡Muchas gracias desde ya!!
Que está todo bien, y que simplemente podías formalizarlo un poco más diciendo \(|f(x) - f(y)| \leq ||\nabla f|| ||x-y|| \leq 3 \cdot \mbox{maxima distancia}\), que es básicamente poner en símbolos lo que dijiste en palabras. Le da más "onda matemática". Está perfecto (no chequeé las cuentas igual, pero el razonamiento es ese). Saludos.