Sea \(f\,:\,\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\) contínua en \((0,0)\). Demostrar que la función \(g(x,y)=(x+y)\cdot f(x,y)\) es diferenciable en \((x,y)=(0,0)\).
Está bien si lo hice así?:
Quiero ver que \(g\) es diferenciable.
Veamos primero que existen las derivadas parciales:
\(g_{x}(0,0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(h\cdot f(h,0))-g(0,0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} f(h,0)\). (Usé \(g(0,0)=0\) ).
Ahora, como \(f\) es contínua es \((0,0)\) , \(\lim_{h\rightarrow 0} f(h,0)=f(0,0)\).
Análogamente, con \(g_{y}(0,0)\).
Luego, tengo \(g_{x}(0,0)=g_{y}(0,0)=f(0,0)\)
Ahora bastaría ver que \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{g(x,y)-g(0,0)-g_{x}(0,0)\cdot x -g_{y}(0,0)\cdot y}{||(x,y)||} = 0\)
Como quiero ver que ese límite vale \(0\) , quiero ver que dado \(\epsilon >0\) , existe \(\delta >0\) tal que \(||(x,y)||<\delta \Longrightarrow \bigg| \frac{(x+y)\cdot (f(x,y)-f(0,0))}{||(x,y)||} \bigg| < \epsilon\)
Acotando, (voy a usar que por ser \(f\) contínua en \((0,0)\) , dado \(\epsilon_{0}\) , en particular tal que \(0<\epsilon_{0}<\frac{\epsilon}{2}\) , existe un \(\delta_{0}\) , tal que \(||(x,y)||<\delta_{0} \Longrightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon_{0}\) ).
Tomando \(\delta <\delta_{0}\) tengo que dado \(\epsilon>0\) existe \(\delta >0\) tal que \(||(x,y)||<\delta \Longrightarrow \bigg| \frac{(x+y)\cdot (f(x,y)-f(0,0))}{||(x,y)||} \bigg| < \epsilon\) , como quería ver.
Luego, \(g(x,y)\) es diferenciable en \((x,y)=(0,0)\).
Avisen si está bien por favor, de ser así, seguro que había una forma más simple, pero está bien esto?
Gracias.
Discullpame, tengo una duda, me podes explicar por q podes tomar un Epsilon arbitrario y luegoreemplazarlo en la acotacion de la funcion?.
Yo tengo entendido de que tendriamos q darle un valor arbitrario a delta para acotarla por que a lo que queremos llegar es justamente a q sea menor que epsilon.
Si esta bien disculpa mi ignorancia 😛 y si me lo podes explicar te lo agradeceria.
Trato de responder:
La idea es que como \(f\) es contínua en \(f(0,0)\), afirmamos que dado \(\epsilon_{0}>0\) , existe un \(\delta_{0}>0\) tal que \(||(x,y)||<\delta_{0} \Longrightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon_{0}\). Ahora, seguro que si me tomo un \(0<\epsilon{0}<\epsilon\) , también va a existir algún \(\delta_{0}\) , dependiente de este \(\epsilon_{0}\) , no?. El punto es que existe, y que \(||(x,y)||<\delta_{0} \Longrightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon_{0}\) .
De alguna manera, la parte de \(||(x,y)||<\delta_{0} \Longrightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon_{0}\) me valida la cota que uso en un momento para tener \(\frac{|(x+y)|\cdot |(f(x,y)-f(0,0))|}{||(x,y)||} \leq \frac{|(x+y)|\cdot \epsilon_{0}}{||(x,y)||}\) . (siempre tomando \(\delta \leq \delta_{0}\) ).
La parte de tomar \(0<\epsilon{0}<\epsilon\) es para hacer \(2\cdot \epsilon{0} < 2\cdot \frac{\epsilon}{2} < \epsilon\) .
Nose si es lo que preguntabas, espero que se entienda lo que quiero decir :S
Saludo, que andes bien =)
Yo pensè lo siguiente... me parece màs sencillo pero no se si es correcto:
A partir del límite que qerés probar, lo dividís en tres límites y los analizas por separado.
En el primero, separàs el producto (x+y)/modulo por f(x,y) el segundo lìmite de este producto es f(00) pues f es continua. Luego, como f(00) se repite en cada termino puedo sacarlo de factor comun y obtendría algo asì: