Sea g: \(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase C\(^1\) tal que \(\bigtriangledown\)g(x,y,z) \(\neq\) (0,0,0) para todo (x,y,z) \(\in \mathbb{R}^3\), y sea S = {(x,y,z) \(\in \mathbb{R}^3\): g(x,y,z) = 0}. Dada f: \(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) de clase C\(^1\) tal que Im(f) \(\subset\) S, probar que el jacobiano de f es constantemente nulo.
Yo acá pensé lo de meterme por el lado de suponer el jacobiano no nulo así valía el teorema de la función inversa y ver dónde fallaba. Con los datos de g se me ocurrió aplicar el teorema de la función implícita y despejar una variable haciendo que en un entorno de esos puntos (x,y,z), la imagen de todos ellos dé cero. Sin embargo no puedo unir ambas partes, ni sé si voy por el buen camino. Alguien me ayuda? 🙁
Es como vos decís; como \(f\in {C}^{1}(\mathbb{R}^{2})\), resulta que podés aplicar el T.F.I si suponés que el jacobiano es distinto de 0; en este caso, el teorema te dice que existen entornos \(U,\;V\) alrededor de los puntos \(X\in \mathbb{R}^{3},\;f(X)\), según el X que elijas. Ahora bien, resulta que \(Im(f)\subset S\), por hipótesis. Como \(\nabla g(X)\neq (0,0,0)\), en particular, podés suponer sin perdida de generalidad que \({g}_{z}(X)\neq 0\). Además, por hipótesis, es \({C}^{1}\), con lo que vale el teorema de la función implícita; existe un entorno alrededor de \(Y\), llamémoslo \(W\), siendo \(Y\eq=(x,y)\), es decir, el vector que se obtiene de ''sacar'' la coordenada z de \(X\). Se verifica que existe \(\phi :W\rightarrow \mathbb{R}\), es \({C}^{1}\) en \(W\), además. Pero luego, resulta que \(\phi (x,y)\eq=z,\;(x,y,\phi (x,y))\in S\). Finalmente, combinando todo, resulta que el entorno \(V\subset Im(f)\subset S\), pero en particular, puedo hacer \(V,\;W:\forall (x,y,z)\in V, (x,y)\in W\). Y esto termina produciendo una contradicción, puesto que \(V\) es abierto, resulta que debe contener al menos una bola centrada en \(f(X)\), pero tal bola no existe, pues \(\phi(x,y)\eq=z\), y existen puntos en tal bola de la forma \((x,y,z+\delta)\), que no pueden estar en la superficie, porque \(\phi\) justamente existe y es una función. Luego, cualquiera sea el \(X\) elegido, no puedo encontrar una bola centrada en \(f(X)\), con lo que el entorno abierto \(V\) del teorema es una triste fantasía, lo que es absurdo; absurdo producido por suponer el jacobiano no nulo. Esta es la idea, está algo desprolija, pero espero que te sirva. Saludos.
PD: esto sucede porque la imagen es vacía; notá que aún si no se pide la hipótesis de \({C}^{1}\) de \(g\), el jacobiano es nulo; pensá que una superficie de nivel es la cáscara de una región del espacio \(\mathbb{R}^{n}\); claramente no podés meter una bola(esto hay que demostrarlo; es más difícil hacerlo formalmente, por eso te dan la hipótesis \({C}^{1}\).
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Otra forma de hacerlo.
Como la imagen de f esta contenida en S entonces \(g(f(x,y,z))=0\) luego aplicando diferencial de ambos lados nos queda que \(\bigtriangledown g(f(x,y,z)) Df(x,y,z)=(0,0,0)\) Si suponemos que el jacobiano de f es distinto de 0 entonces podemos suponer que existe una inversa para \(Df\) luego si multiplicamos ambos lados por esta inversa.\(\bigtriangledown g(f(x,y,z)) Df(x,y,z) Df^{-1}=(0,0,0)Df^{-1}\) luego, \(Df(x,y,z) Df^{-1}\)es igual a la identidad, entonces \(\bigtriangledown g(f(x,y,z))=(0,0,0)\) lo cual es absurdo ya que el enunciado dice que es distinto de 0, el error viene de suponer que el jacobiano es distinto de 0.
Avisen si hay algo mal.
Eeeeh! Muchas gracias exe! Ya entendí en dónde tenía que afilar la mirada; me puso contento que el primer razonamiento estuviera bien encaminado aunque me costó mucho entender incluso en tu demostración la parte de que (x,y,z+d) no pertenecia a la superficie entonces V no era abierto, pero gracias gracias gracias.
La demostración de juanma también cierra, pero se puede aplicar así diferenciales tan libremente?
Finalmente, combinando todo, resulta que el entorno \(V\subset Im(f)\subset S\), pero en particular, puedo hacer \(V,\;W:\forall (x,y,z)\in V, (x,y)\in W\). Y esto termina produciendo una contradicción, puesto que \(V\) es abierto, resulta que debe contener al menos una bola centrada en \(f(X)\), pero tal bola no existe, pues \(\phi(x,y)\eq=z\), y existen puntos en tal bola de la forma \((x,y,z+\delta)\), que no pueden estar en la superficie, porque \(\phi\) justamente existe y es una función.
si me lo podes explicar, vos o cualqueir otro, te lo agradeceria.
Eso de aplicar "diferenciales tan libremente" es un resultado identico al de aplicar el teorema de la función compuesta (regla de la cadena)
pues si hacemos la composicion g(f(x)), como f y g son C1 tenemos que (Dg(f(x))).(Df(x))= 0 que es lo mismo que escribió juanma en su demostración. ¿Responde eso a la duda de Mati?
Otra:
Yo pensé como dije antes usando el teorema de la Fc comp y desarrollado se llega a :
Grad g (f(x)) . (Df(x))=0 Al desarrollar este producto se llega a un sistema lineal homogeneo. Luego como es homogeneo admite una solución (el vector nulo) o infinitas. La primera opción no puede ocurrir pues implicaría que grad g = 0 lo que contradice la hipñotesis. Luego debe ocurrir la segunda. Para que dicho sist homog tenga infinitas soluciones es condicion que su det = 0 o sea: Jf = 0 que es la tesis.
Yo lo pensé de dos formas, una es la segunda que dijo Ale.. la otra es aplicando el TFInversa, pero sin usar el de la implícita, lo que usé es que g no es una función contante porque su gradiente es distinto de 0, entonces si g(c) = 0 existe un entorno alrededor de c (sin incluir a c) tal que g =/= 0 en ese entorno (esto vale en R, y estoy casi seguro de que vale en este caso también, me gustaría que alguien me lo confirme igual).. Bueno, eso quiere decir que cualquier W que tomes para el TFI no va a servir porque f no va a ser sobreyectiva ya que va a haber una cierta cantidad de puntos sin pre-imagen..
Me cuesta entender las resoluciones que plantearon. No entiendo por qué se plantea el teorema de la función implícita.
Yo tengo la idea de que como la imagen de f es nula entonces si parto de suponer que el determinante es distinto de cero, planteando el TF Inversa llegaría al absurdo pues f no es inyectiva. ¿Está bien lo que digo? ¿Cómo podría resolverlo pensándolo de esa manera?
La imágen de \(f\) no es nula, pero sí está metida adentro de \(S\), que es el conjunto de puntos en el que \(g\) se anula. Para mí la resolución de juanma es la más limpia y sencilla (y definitivamente la que el docente esperaría que hagan).