[A RESOLVER] FINAL

Sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^1\) tal que \(\bigtriangledown f(x.y)=(4x,9y)\) para todo \((x,y)\). Probar que \(f\) es constante sobre la elipse de ecuacion\((2x)^2+(3y)^2=r^2\) con \(r \in \mathbb{R}_{>0}\)

Aplicando multiplicadores de lagrange llegue a que existe un lambda para todo \((x,y)\) en la elipse, pero lagrange me dice que si \((x,y)\) es extremo f en la elipse, puedo encontrar un lambda, no? lo que no es lo mismo que, si encuentro un lambda quiere decir que \((x,y)\) sea extremo. asique no se que hacer.
espero puedan ayudarme. gracias.

Yo ese ejercicio lo saqué por regla de la cadena. Primero parametricé el elipse (acordate que era g(t) = (a·cos t, b·sin t), y después planteé la función h(t) = fog (t). Hallé h'(t) que por regla de la cadena me dio cero, entonces h(t) vale "c" para todo t, y luego fog(t) vale c para todo t...
No sé si está bien el razonamiento, si alguien me lo confirma se lo agradezco.

NOTA: si sos partidario de los multiplicadores de Lagrange, esperá a que planteen otra resolución...
Notá que la elipse es una curva; luego, podemos buscar una parametrización. Como \({(2x)}^{2}+{(3y)}^{2}\eq={r}^{2}\), podemos dividir miembro a miembro por \({r}^{2}\)(pues \(r\neq 0\)), teniendo \({(\frac{2}{{r})}^{2}{x}^{2}+{(\frac{3}{r})}^{2}{y}^{2}\eq={(\frac{1}{\frac{r}{2})}^{2}{x}^{2}+{(\frac{1}{\frac{r}{3}})}^{2}{y}^{2}\eq=1\). Es ''inmediata'' la siguiente parametrización de la elipse, \(\sigma (t)\eq=(\frac{r}{2}\cos(t),\frac{r}{3}\sin(t))\). Fijate por qué vale esta parametrización. Luego, notá que querés estudiar \(h\eq={f}_{0}\sigma (t)\). Como \(f\) es \({C}^{1}\), y \(\sigma\) también, resulta que también lo es la composición, y vale la Regla de la cadena; luego(notá que \(h\) está en variable real y toma valores reales), derivando, queda \(h'\eq=Df(\sigma (t))\sigma '(t)\eq=Df(\frac{r}{2}\cos(t),\frac{r}{3}\sin(t))(-\frac{r}{2}\sin (t),\frac{r}{3}\cos (t))\). Usando que el gradiente siempre es \((4x,9y)\), resulta \(h'\eq= (4\frac{r}{2}\cos(t),9\frac{r}{3}\sin(t))(-\frac{r}{2}\sin (t),\frac{r}{3}\cos (t))\eq=-{r}^{2}\cos(t)\sin(t)+{r}^{2}\cos(t)\sin(t)\eq=0\). Luego, \(\forall t\in \mathbb{R},h'\eq=0\iff h\;es\;constante\), y esto es lo que querías probar.
Fijate si te ayudé. Saludos.

Pd: me ganó de mano Mati; es lo mismo que hice acá lo que él dice.

Muchas graciasa a ambos.