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Si es el ejercicio que creo.. te falta en la hipótesis que f es continua.
Pareciera ser verdadero... yo intenté buscar un contraejemplo pero todo me da para que sea V... Aunque no he podido probarlooo!!
ya lo cambie, gracias.
Che, no entiendo bien el enunciado, te dice que existe la derivada de f para todo x distinto de a, vos queres ver si ademas existe en a??
muchas gracias
When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
ya lo cambie, nuevamente jaja. Espero que ahora se entienda.
Creo que sale así ahora:
Quiero ver que \(f\) es derivable en \(a\) .
Basta ver que existe \(\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\)
Sea el intervalo \([a,x]\) con \(x\not= a\) , \(x>a\)
Tengo que \(f\) es contínua en \([a.x]\) , y derivable en \((a,x)\) , luego vale el Teorema del valor medio de Lagrange:
\(f(x) - f(a) = f^{'}(c) \cdot (x-a)\) , con \(c\in(a,x)\)
Como \(x\not= a\) , puedo seguir:
Tomo límite:
\(\lim_{x\rightarrow a^{+}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\rightarrow a^{+}} f^{'}(c)\) .
De un lado tenemos el límite que queríamos por derecha, ahora como por hipótesis sé que \(\lim_{x\rightarrow a} f^{'}(x)\) existe , en particular existen \(\lim_{x\rightarrow a^{+}} f^{'}(x)\) y \(\lim_{x\rightarrow a^{-}} f^{'}(x)\) \(\forall x\not=a\) y deben valer lo mismo. Entonces \(\lim_{x\rightarrow a^{+}} f^{'}(c)\) existe, pues \(c\not= a\) y \(a<c<x\) .
Entonces \(\lim_{x\rightarrow a^{+}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\) existe.
Analogamente, tomando el intervalo \([x,a]\) , con \(a>x\) , \(a\not= x\) , llegamos a que existe \(\lim_{x\rightarrow a^{-}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\).
Luego, existen \(\lim_{x\rightarrow a^{+}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\) y \(\lim_{x\rightarrow a^{-}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\) , como en particular valen lo mismo, concluimos que existe \(\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\).
Luego \(f\) es derivable en \(a\) .
Avisen por favor si hay errores, gracias. Saludos!
Editado 1 vez.
Por eso no salía ayer, Agustín; ¡nos faltaba la hipótesis de continuidad! A modo de mostrar por qué es necesaria la hipótesis de continuidad, tomen la función \(f(x)\eq={e}^{x},x\geq 0,\;f(x)\eq=-{e}^{-x},x<0\). Esta función no es continua en \(x\eq=0\), es derivable en todo los puntos \(x\neq 0\), y \(f'(x)\eq={e}^{x},x\neq 0\), como fácilmente se ve, y existe el límite dado en la hipótesis, y no es derivable en \(x\eq=0\) por no ser continua \(f\) en \(x\eq=0\). No ponía la resolución, porque me llamaba la atención que no se pidiera la hipótesis de continuidad... de igual manera, espero que el ejemplo ayude. Saludos(Juanma, notá qué teorema usó Agustín, para resolver el ejercicio; vaya ironía, ¿no?)
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Mucha gracias y perdonen que puse mal el enunciado.
Che me parece que me voy a tatuar la palabra "Lagrange" en el brazo asi no me olvido mas de usarlo, esto ya es el colmo jaja, tengo un problema personal con Lagrange.Gracias a todos los que me ayudan a superarlo.
Saludos.
Agustin escribió:
Creo que sale así ahora:
Quiero ver que \(f\) es derivable en \(a\) .
Basta ver que existe \(\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\)
Sea el intervalo \([a,x]\) con \(x\not= a\)
Tengo que \(f\) es contínua en \([a.x]\) , y derivable en \((a,x)\) , luego vale el Teorema del valor medio de Lagrange:\(f(x) - f(a) = f^{'}(c) \cdot (x-a)\) , con \(c\in(a,x)\)
Como \(x\not= a\) , puedo seguir:$$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f^{'}(c)$$Tomo límite:
\(\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\rightarrow a} f^{'}(c)\) .
De un lado tenemos el límite que queríamos, ahora como por hipótesis sé que \(\lim_{x\rightarrow a} f^{'}(x)\) existe \(\forall x\not=a\) , entonces \(\lim_{x\rightarrow a} f^{'}(c)\) existe, pues \(c\not= a\) .
Entonces \(\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\) existe.
Luego \(f\) es derivable en \(a\) .Avisen por favor si hay errores, gracias. Saludos!
Una pregunta, \(f^{'}(c)\) no es una constante? ya que c tendría un valor definido, por lo que\(\lim_{x\rightarrow a} f^{'}(c)=f^{'}(c)\), igual hay que destacar que \(c\not= a\)
Respondo por Agustín; \(f'(c)\) no es una constante, porque \(c\) depende de \(x\), o sea, en realidad \(c(a)\), porque \(c\in (a,x)\), y a \(x\rightarrow a\). En pocas palabras, \(c\neq a\) según Lagrange, con lo que \(\lim_{x\rightarrow a}f'(c)\) no es necesariamente \(f'(c)\). Espero haber aclarado.
Bien Agustin!
Al fin salio ese ejercicio!!
jajajaja
Muchisimas Gracias, duda aclarada
PD: che cuantos ejercicios que salen con este teorema, y eso que en la cursada casi ni lo toque
No termino de entender, ahí agustín probó para el límite yendo por la derecha, no habría que probar que existe también yendo por la izquierda y que son iguales?
Agustín cometió un error imperdonable, ahora que lo veo; le faltó la frase... ''y análogamente, estudió con el otro intervalo, para probar el límite por la izquierda''. Jaja, solo en broma. En realidad, el intervalo que él tomó \([a,x]\) fue un abuso de notación, en el sentido que consideró que la expresión \([a,x]\eq=[a,x]\) si \(a<x\), y \([a,x]\eq=[x,a]\) si \(a>x\). O sea, probó los dos límites de una. Nuevamente, abusó de notación, con lo que estrictamente deberían tomarse los dos intervalos y y tomar los dos límites que coinciden por existir el límite de la derivada. En pocas palabras, la confusión es causa de ese abuso de notación. En el final, separen los dos casos. Saludos.
che parece que todo sale re lindo y no quiero quedar como un boludo pero no es contra-ejemplo f(x)= lxl ? (lxl : modulo de x)
es continua, es deriveble y derivada continua en todos los punto menos en cero y en cero no es derivable.
Pero la derivada de \(|x|\) es \(-1\), cuando es \(x<0\), y \(1\), cuando \(x>0\). Con lo que no existe \(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\), porque no coinciden los límites laterales. Es decir, no se satisface esta hipótesis.
Muchas gracias por haber avisado, sí, abusé tremendamente, estaba mal eso.. ahí lo modifiqué y creo que quedó bien 😛
Gracias.
exequiel131719 escribió:
Por eso no salía ayer, Agustín; ¡nos faltaba la hipótesis de continuidad! A modo de mostrar por qué es necesaria la hipótesis de continuidad, tomen la función \(f(x)\eq={e}^{x},x\geq 0,\;f(x)\eq=-{e}^{-x},x<0\). Esta función no es continua en \(x\eq=0\), es derivable en todo los puntos \(x\neq 0\), y \(f'(x)\eq={e}^{x},x\neq 0\), como fácilmente se ve, y existe el límite dado en la hipótesis, y no es derivable en \(x\eq=0\) por no ser continua \(f\) en \(x\eq=0\). No ponía la resolución, porque me llamaba la atención que no se pidiera la hipótesis de continuidad... de igual manera, espero que el ejemplo ayude. Saludos(Juanma, notá qué teorema usó Agustín, para resolver el ejercicio; vaya ironía, ¿no?)
Me encantó tu contraejemplo, exe... yo había pensado en la función que vale 0 en \((-\infty,0]\) y 1 de ahí en adelante... 😛