Sean, \(f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C1\), que satisfacen a) \(f(0)=g(0)\)
b) \(f'(0)<g'(0)\).
Probar que existe \(\delta >0\) tal que
i) si \(0<t<\delta\) entonces \(f(0)<g(0)\)
ii)si \(-\delta<t<0\) entonces \(f(0)>g(0)\)
Lo que pense fue, suponer que pasa lo contrario en ii), mantemer la condicion a), y llegar a una contradiccion, es decir que b), es falso. Eso esta bien??
Si alquien lo sabe hacer con las desigualdades del limite de la derivada estaria bueno. Gracias.
Bueno, yo pensé la siguiente resolución:
Tomemos la función \(h(x)\eq=g(x)-f(x)\). Esta función hereda particularmente, la propiedad de ser \({C}^{1}\). Además, cumple \(h(0)\eq=g(0)-f(0)\eq=0\) y \(h'(0)\eq=g'(0)-f'(0)>0\). Como \(h'\) es continua, por ser \({C}^{1}\), existe \(r>0:\forall x\in (-r,r),\;h'(x)>0\). Esto tiene consecuencias muy importantes; en efecto, \(h\) no puede cumplir cualquier cosa; como \(h(0)\eq=0\), y es creciente en el intervalo \((-r,r)\), por ser \(h'\) positiva en tal intervalo, resulta que \(\forall t\in [-r,0],\;h(t)\leq 0\), y análogamente, \(\forall t\in [0,r],\;h(t)\geq 0\), en virtud que \(h\) es continua. Luego, \(h\) es continua en \([0,r]\) y derivable en \((0,r)\); usamos Lagrange sobre \(h\), y tenemos:
\(h(t)-h(0)\eq=g(t)-f(t)\eq=h'(c)t>0\), por ser \(t>0\) y \(c\in (0,t),\;t<r\). Luego, \(g(t)-f(t)>0\iff g(t)>f(t)\). Luego, tomando el \(0<t<r\) satisfago i).
Para la parte ii), es exactamente lo mismo, solo que tomando el otro intervalo \((-r,0)\). Te queda:
\(h(0)-h(t)\eq=-h(t)\eq=f(t)-g(t)\eq=-h'(c)t>0\implies f(t)>g(t),\forall t,\;-r<t<0\). Lo último vale porque \(-t>0,\;c\in (t,0),\;h'(c)>0\)
Espero haberte ayudado. En general, el arma fundamental para atacar este tipo de problemas es el Teorema de Lagrange; siempre está ahi para ayudarnos. Así que, siempre tratá de usarlo primero. Nuevamente espero haber aclarado, y saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Bueno, yo pensé la siguiente resolución:
Tomemos la función \(h(x)\eq=g(x)-f(x)\). Esta función hereda particularmente, la propiedad de ser \({C}^{1}\). Además, cumple \(h(0)\eq=g(0)-f(0)\eq=0\) y \(h'(0)\eq=g'(0)-f'(0)>0\). Como \(h'\) es continua, por ser \({C}^{1}\), existe \(r>0:\forall x\in (-r,r),\;h'(x)>0\). Esto tiene consecuencias muy importantes; en efecto, \(h\) no puede cumplir cualquier cosa; como \(h(0)\eq=0\), y es creciente en el intervalo \((-r,r)\), por ser \(h'\) positiva en tal intervalo, resulta que \(\forall t\in [-r,0],\;h(r)\leq 0\), y análogamente, \(\forall t\in [0,r],\;h(r)\geq 0\), en virtud que \(h\) es continua. Luego, \(h\) es continua en \([0,r]\) y derivable en \((0,r)\); usamos Lagrange sobre \(h\), y tenemos:
\(h(t)-h(0)\eq=g(t)-f(t)\eq=h'(c)t>0\), por ser \(t>0\) y \(c\in (0,t),\;t<r\). Luego, \(g(t)-f(t)>0\iff g(t)>f(t)\). Luego, tomando el \(0<t<r\) satisfago i).
Para la parte ii), es exactamente lo mismo, solo que tomando el otro intervalo \((-r,0)\). Te queda:
\(h(0)-h(t)\eq=-h(t)\eq=f(t)-g(t)\eq=-h'(c)t>0\implies f(t)>g(t),\forall t,\;-r<t<0\). Lo último vale porque \(-t>0,\;c\in (t,0),\;h'(c)>0\)
Espero haberte ayudado. En general, el arma fundamental para atacar este tipo de problemas es el Teorema de Lagrange; siempre está ahi para ayudarnos. Así que, siempre tratá de usarlo primero. Nuevamente espero haber aclarado, y saludos.
"...resulta que \(\forall t\in [-r,0],\;h(r)\leq 0\), y análogamente, \(\forall t\in [0,r],\;h(r)\geq 0\), en virtud que \(h\) es continua..."
Creo que quisiste decir h(t) con t perteneciente a [-r,0] y [0,r] según el caso
No me termina de quedar clara la duda, pero si, quise decir que para tal \(t\) en cada caso, y resalté que el razonamiento resulta válido porque la función es continua.
que el argumento de la función h lo tendrías que haber llamado "t", y lo llamaste "r" que es una de las cotas de los intervalos que armaste con "r". Es una boludés, está muy bien lo que hiciste