[Pregunta teorica] continuidad uniforme

f:\(D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) se dice uniformemente continua si dado \(\epsilon >0\) existe \(\delta >0 / |x-y|<\delta\) entonces \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)

la demostración la tengo, y es bastante entendible... mi problema es sobre qué significa exactamente que una función sea uniformemente continua dicho en palabras, si alguien tiene ganas de responderme

(No me creas mucho de lo q voy a decir a continuacion)
La continuidad como la teniamos de siempre era una definicion local, tenias un punto, y de ahi un limite con su delta y epsilon... pero si te ibas a otro punto, por ahi ese delta no te servia para justificar nada en ese punto. La continuidad uniforme ya no actua "puntualmente" sino que sirve para todo x y dentro de D. La idea es que si tomas un intervalito chiquito en "x" y en "y", entonces sus respectivas F(x) y F(y) van a ser menores a epsilon para todos los x y del conjunto D...
Lo cual no tendria sentido en, por ejemplo 1/x, porq si te acercas al cero, siempre vas a tener q encontrar un delta mas chiquito porq la funcion crece mucho y rapido...
Ahora, no recuerdo porq ni para q exactamente necesitabamos este tipo de continuidad si alguien me puede aclarar eso le agradezco =)

(pd= viste? a veces estudio)

Agrego de wiki:

En análisis matemático una función f(x) se dice que es unifomemente continua si pequeños cambios en el valor de x producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios en f(x) depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Con un amigo fuimos a preguntarle a nuestra profe de la teórica y nos explicó algo que a mí me resultó mucho más claro. La diferencia esencial entre continuidad y continuidad uniforme es que para la primera tenés que tomar el delta según el punto, mientras que para la segunda tenés que procurar tomar el mismo delta para comparar en todos los segmentitos que tomes.

Por ejemplo, si tomás x^2 y fijás un epsilon, por ejemplo 2, y tomas los valores de x entre 0 y 2 siempre vas a poder encontrar un delta que te sirva para todos los puntos: si tomo por ejemplo delta = 1, puedo tomar que |1-1/2|< delta = 1, y que |1-1/4|< epsilon = 2. Si te fijas desde un cierto valor de delta, si tomas valores menores a ese siempre los puntos en la imagen van a distar menos que ese epsilon que propuse.
Ahora, qué pasa cuando me voy a infinito? Bueno, cuánto más grande es x necesito que mi delta sea bien chico para que la diferencia de las imagenes caigan en ese epsilon, entonces terminás descubriendo que no existe tal delta.

Geométricamente lo estuve pensando, y es algo así como que la pendiente te tienda a infinito. Si la pendiente te tiende a algun valor distinto de infinito, entonces CREO que es uniformemente continua en todo el dominio más amplio (ojo, no estoy completamente seguro, pero es lo que pasa con los casos que se da que no es uniformemente continua como 1/x en 0 y x^2 en infinito, o con casos donde sí es como en y= m·x en infinito)
Por favor corríjanme si dije algo más, me puedo haber mandado cualquiera.
Y si algo no quedó claro, avisen. Saludos.

Voy a hacer una aclaración; \(\frac{1}{x}\) no solo no es uniformemente continua, sino que ni siquiera es continua en el origen, con lo que todo intervalo que debe tomarse para pensar en continuidad uniforme en esta función deben ser intervalos de la forma \((a,b),\;a,b\neq 0\). Otra cosa, la continuidad uniforme se aplica también, n términos de definición, en funciones escalares, de dominio \(D\subseteq \mathbb{R}^{n}\), con lo que la idea de la pendiente puede no ser tan intuitiva. En cierto sentido, la extensión de lo que dijo Mati es la siguiente; suponete que decidís fijar un \(\epsilon >0\). Este va a ser lo tan chiquito que querés que estén \(f(x), f(y),\) cualquiera sean los vectores \(x,y\) en el dominio de definición. Es decir, \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\). Luego, la continuidad es una propiedad local, es decir, hablás de continuidad en un punto \(y\); en el caso del ejemplo dado, vale que, por ser \(f\) continua en \(y\), hacés la imagen de \(x\) tan cerca como querés de \(y\). Pero si querés hablar de continuidad uniforme, tenés que fijar un conjunto dado del domino, digamos \(U\subseteq D\subseteq \mathbb{R}^{n}\), y pensar que, con el mismo \(\epsilon\) elegido, podés hallar algún \(\delta >0\) tal que cualesquiera sean los vectores \(x,y\in U\) que satisfacen que no distan más de \(\delta\), es decir, \(||x-y||<\delta\), las imágenes distan menos que la distancia que elejiste. Es decir; una función es uniformemente continua en un conjunto \(D\) si podés hacer las imágenes de los vectores tan cercanas como querés, siempre que puedas tomar los vectores suficientemente cercanos, y esto valga para todos los vectores que estén así de cerca. Los ejemplos ayudan, así que, ahora unos ejemplos:
Lo que notó Matías es que si la función en una dirección se va a \(+\infty\) en el conjunto en el que estás estudiando la continuidad uniforme, no vas a hallar continuidad uniforme; o lo que es lo mismo, si la función \(f\) no está acotada en el conjunto \(D\), la continuidad uniforme no es más que una triste fantasía. Ejemplos son \(\frac{1}{x}\) en cualquier intervalo alrededor del 0, porque siempre alrededor del 0 la función vuela a \(+\infty,-\infty\). Otro ejemplo son las funciones continuas, como los polinomios, en dominios de la forma \((a,\infty),\;(-\infty,b)\), pues son funciones que se disparan fácilmente al infinito. O \({e}^{x+y}\), en \(\mathbb{R}^{2}\). Se prueba, sin embargo, que si la función es continua en un compacto, es uniformemente continua. Nuevamente; si la función es continua, pero no en un compacto, también puede ser uniformemente continua, como las funciones constantes \(f(X)\eq=k,\;k\in\mathbb{R},\;X\in \mathbb{R}^{n}\).
Es decir, la idea de continuidad uniforme en un conjunto es la de tener las imágenes de los vectores tan cerca como quieras siempre que los vectores estén suficientemente cerca. Fijate si quedó más claro. Saludos.

La idea es básicamente la siguiente: una función continua tiene la característica que si te quedás cerca de un punto, entonces la función no varía mucho su valor. Es decir, podés suponer que es básicamente constante si no te alejás mucho del punto. Es por ejemplo lo que uno hace con la temperatura: la temperatura fluctúa siempre, y nunca se mantiene constante, pero si suponés que es continua, podés suponer que no varía mucho, siempre y cuando no te tomes demasiado tiempo para medirla, y entonces tu medición tiene sentido.

Que algo sea UNIFORMEMENTE CONTINUO es que ese "intervalo aceptable" de tiempo, dentro del cual podés suponer que la función continua es constante, no depende del momento en que hacés la medición. Muchas veces, por ejemplo, en física, uno dice que parte un cuerpo en suficientes pedacitos chiquitos como para poder suponer que una función es constante en cada pedacito (una vez más, la temperatura en un cuerpo, o la densidad de la tierra, por ejemplo). Esto solo es posible si la función es uniformemente continua, porque entonces si querés considerar tu función casi constante (que varíe en menos de \(\varepsilon\)), entonces tenés que partirlo todo en pedazos iguales, de radio menor que \(\delta\). Como son todos pedazos iguales, sabés que lo estás partiendo en finitos pedazos, y no tenés que pensar en problemas de sumas infinitas, convergencia y divergencia, ni nada por el estilo.

Espero que haya servido, saludos.