Bueno acá dejo el final que rendí hoy.. Lo tomaron Zilber y Bonder. No fue ni muy complicado ni muy fácil a mi parecer (por ahí le pifié en algún enunciado.. igual creo q está todo bien):
Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) continua tal que \(P \in \mathbb{R}^2\) es un extremo de f. Probar que si existe la derivada direccional \(f_{v}\) con \(v \in \mathbb{R}^2\) entonces \(f_v (P) = 0\). Concluir que si existen las derivadas parciales de f en P, entonces \(\bigtriangledown f (P) = 0\).
Demostrar el Teorema de Multiplicadores de Lagrange en \(\mathbb{R}^3\).
Sean \(\alpha : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\) y \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) de clase \(C^1\) tales que \(\alpha(t) = (e^{t-1}+1,t^2+2)\) y \(f(\alpha(t))=(1,1) \forall t \in \mathbb{R}\). Probar que \(Df(2,3)\) no es inversible.
Es EXACTAMENTE el mismo ejercicio 4 que tomaron el día 24/11/2009: FINAL 24/11/2009
Bueno como quiero ascender a Ayudante de Primera, voy a hacer el esfuerzo de resolver algunos ejercicios (o tirar ideas) de este final xDDDD.. El único que no hice fue el 4 que tampoco hice en el examen, pero está en el link que dejé en el post anterior.
Ejercicio 1
No sé si tuve bien este ejercicio, pero lo habré tenido regular porq seguro tenía bien el 2 y el 3. Mi idea fue suponer que \(P=(x_0,y_0)\) es máximo (local) y por lo tanto, \(f(P) \geq f(x) \; \forall x \in B(P,\delta)\), con \(\delta > 0\). Supongamos que existe \(f_v\) con \(v \in \mathbb{R}^2\). Entonces, si plantean el límite de la definición de derivada direccional en P, les sale que cuando \(h \rightarrow 0^{+}\), entonces, \(f_v (P) \geq 0\) y cuando \(h \rightarrow 0^{-}\) ocurre que \(f_v (P) \leq 0\). Entonces debe ser \(f_v (P) = 0\).
La segunda parte lo hice usando la primera, diciendo que si existen las derivadas direccionales \(f_v (x,y)\), entonces en particular existen las derivadas parciales, que es cuando \(v=(1,0)\) y \(v=(0,1)\). Entonces ambas dan 0 en P por la primera parte del ejercicio, por lo tanto \(\bigtriangledown f(P) = 0\).
Ejercicio 2
Es igual que la demostración para \(\mathbb{R}^2\), nada más que cambian los espacios en los que estamos parados.
Tenemos las hipótesis de que \(f\) y \(g\) son ambas de clase \(C^1\), y además \(\bigtriangledown g(P) \neq 0\) y \(P=(x_0,y_0,z_0) \in C\), donde \(C\) es la curva de nivel blah blah... (esto no lo pongan en el examen xD.. miren las hipótesis del teorema en los apuntes de Larotonda o de cualquier teórica que eran las mismas que las que te daban acá). Entonces, usando el teorema de la función implícita para despejar \(z\) en función de \((x,y)\), nos queda que \(\exists \phi : B((x_0,y_0),\delta) \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) diferenciable tal que \(\phi(x_0,y_0) = z_0\).
Por un lado, defino \(\sigma : B((x_0,y_0),\delta) \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) diferenciable tal que \(\sigma(x,y)=(x,y,\phi(x,y))\), que es una parametrización de la curva C. Además,
Luego, por (1) y (2), notamos que los gradientes de f y de g en P deben ser paralelos. Entonces \(\exists \lambda \in \mathbb{R}\) tal que \(\bigtriangledown f(P) = \lambda . \bigtriangledown g(P)\).
Ejercicio 3
Este ejercicio creo que también salía por el teorema de la función inversa, y es lo primero que intenté en el examen. Pero como me trabé y no sabía cómo seguir, se me ocurrió otra idea que paso a contar:
Probar que \(Df(2,3)\) no es inversible es equivalente a probar que \(det(Df(2,3)) = 0\). Entonces como \(f(\alpha(t)) = (1,1) \; \forall t \in \mathbb{R}\) entonces \(f \circ \alpha\) es constante en todo \(\mathbb{R}\). Luego, \(D f(\alpha(t)) = 0\). Entonces, como f es de clase \(C^1\) por hipótesis, y \(\alpha\) es diferenciable, entonces vale la regla de la cadena, y luego (usando que \(\alpha(1)=(2,3))\):
Hola gente la verdad que yo no postee nunca asi que ni idea como se usa el programa con simbolos.
Solo quiero tirar una idea de ejercicio 4 que me parece que sale rapido asi:
Bueno la idea es que como está planteado el ejercicio es un cilindro acostado sobre el eje x, por lo que si se parametriza como una cilindro siendo los limites del angulo titta 0 y 2pi, los de r 0 y f(x) y los de x a y b sale el ejercicico.
La funcion que se integra es 1 dado de que estamos calculando un volumen mediante integral triple y el jacobiano de cilindricas es r.
Disculpen que no está con la simbología correcta pero quería expresar mi idea sobre el ejercicio.
Muchas gracias
Gente una pregunta, en el ejercicio 3, por que se escribe el vector como columna? yo en un parcial tuve un ejercicio similar, en el cual lo considere en forma de fila (es decir, derivo a alfa y queda como esta, en forma de fila), y estaba bien, asi me suena a que uno puede escribirlo como columna o como fila a eleccion. Como es el tema?