Acá les dejo lo que tomaron Larotonda y De Rosa el 7-9-2010. Eran 3 demostraciones y un ejercicio más práctico mezclado con un poco de teoría. El ejercicio me acuerdo lo que pedía así que voy a tratar de explicarlo de la mejor manera (y sin usar Tex)
Las demos eran:
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Sea Xn una sucesión monótona de núemros reales. Probar que si está acotada entonces es convergente.
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Dada una función f: R^2-->R de clase C3. Y sea P un punto crítico de f. probar que si el hessiano de f en P es definido positivo, entonces f tiene un mínimo relativo estricto en P.
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Demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo. El enunciado era mucho más largo y te nombraba todas las hipótesis del teorema pero eso era lo que había que hacer.
El ejercicio práctico era una cosa así. te daban una f:R^2-->R^2 y una g:R-->R
f(x,y)=(y + cosx, x + e^y) g(t,u)= t+u
Y te definían una F=gof
te pedían primero clacular la derivada direccional de F en el (0,0) con v=(1/5^1/2, -2/5^1/2)...no se si el vetor era exacto este pero los números eran esos...igual no importa mucho la verdad que numeritos eran...
después tenías que decir el maximo valor que podía tomar la derivada direccional (hay una cuentita que te dice en que direccion se alcanza el maximo crecimiento)
el punto c era ver que se verificaban las hipótesis del teo de la función implícita en el (0,0) para la función F y decir que se podía usar y que valía F(x,h(x))=2 para todo x en un entornito cerca del 0. h(x9 es la implícita...
el punto d era calcular h`(0) y h``(0)
eso es todo..cualquier duda pregunten por si no se entiende bien algo...
saludos y espèro que les venga bien!