es la primera vez que posteo y no conozco mucho como viene la mano y tampoco el latex epro bueno ahi voy...voy a tratar de que se entienda...el ejercicio dice así:
Sea C1={(x,y) en R^2: y=x^2 + 1} y C2={(x,y) en R^2: x=y^2 + 1}. hallar los puntos que minimizan la distancia entre C1 y C2.
la verdad que me pareció que salía tranquilo pero se me complicó...si alguien lo quiere contar se agradece!...toy preparando para rendirla el martes que viene así que bueno espero estar posteando a tiempo...
gracias!!
Yo también tengo dudas con este ejercicio...
Igual lo pude sacar, pero de una forma medio larga y complicada, entonces quería saber si alguien lo pudo solucionar de una forma más simple...
Yo lo que hice fue plantear que la función a minimizar es la distancia entre dos puntos\((u,v)\) y \((j,k)\), luego quiero minimizar:
$$d(u,v,j,k)=\sqrt{(u-j)^2+(v-k)^2}$$
y es lo mismo miniizar:
$$f(u,v,j,k)=(u-j)^2+(v-k)^2$$
Luego pensé que los puntos de la parábola \(C1\) son de la forma \((u,v)\) donde \(v=u^{2}+1\)
Y los puntos de la parábola \(C2\) son de la forma \((j,k)\) con \(j=k^{2}+1\)
Ahí planteé lagrange con la f de cuatro variables, y tomo como las dos restricciones que los puntos pertenezcan a las curvas, es decir
$$g1(u,v,j,k)=u^{2}+1-v =0$$
$$g2(u,v,j,k)=k^{2}+1-j =0$$
Ahi saque los gradientes y me puse a despejar....aviso que es un bajón ese sistema para despejar...
Por eso consulto si alguien lo hizo de otra manera...
Porque para despejar tuve que buscar raíces a un polinomio de grado 4, con gauss y toda la bola...y plantear varios casos separados...
Y después de un rato llegué a que los puntos de menor distancia son \((\frac{1}{2},\frac{5}{4})\) y \((\frac{5}{4},\frac{1}{2})\) (de \(C1\) y \(C2\) respectivamente)
Si alguien tiene una solución mejor cuente!
Saludos!!
Yo lo arranqué de la misma manera, y después de un rato de dar mil vueltas con las ecuaciones, me cansé y al ver que ambas parábolas son simétricas respecto a la recta \(x = y\), planteo que dada la simetría, si la distancia mínima de ambas curvas hacia la recta son iguales, entonces los puntos de las curvas son los que marcan la distancia mínima entre las curvas.
Si bien a priori parece más esfuerzo, quedan dos sistemas de ecuaciones que son más simples de resolver que plantear directamente la distancia entre las curvas.
Es más, creo que no es necesario hacer la distancia de ambas parábolas hacia la recta, ya que al plantear que son simétricas con respecto a la recta, alcanza con una sola y luego intercambiar los valores para la otra parábola.
Me parece razonable, pero puede que esté perdiendo algún detalle para justificar eso, si alguien cree que le falta una vuelta de tuerca, o tiene una manera más simple de hacer el ejercicio, bienvenido sea.
