Hola estoy acá con los finales viejos y surgió uno que dice asi : Sea F:R2->R de clase C1 tal que Existe un único punto (a,b) con F(a,b)=o Probar que el gradiente es nulo. Sugerencia: usar el teo de la funcion implícita.
NO se me ocurrio bien como usarlo(si alguien la tiene clara con eso sería de gran ayuda) asi que se me ocurrió lo siguiente y quisiera saber si está bieen.
RESOLUCIÓN: Sea G(x,y)=F(x,y) G:R^2-{(a,b)} Es continua para todo (xy)perteneciente a Dom g y es arcoconexo, QVQ => g(xy) > 0 ó g(xy)<0 para todo xy perteneciente a Dom g
Supongo la tesis falsa ,es decir, supongo P, Q distintos de (a,b) / g(P)<0<g(Q) => por bolzano R^n deberia existir una curva continua ø(t) contenida en Dom g con extremos en P y Q / G o ø (to) = 0 con to entre 0 y 1 , es decir si ø (to)=C , Cpertenece a dom g y G(C) = 0 que es ABS! => g(xy) <0 ó g(xy)>0 para todo (xy) distinto de (a,b) => F(a,b) es mínimo o máximo absoluto => por fermat R^n el gradiente es nulo
QED
esta bien asi? algun error?
además ,como se hace con implicita??
No se entiende mucho, pero por qué decís quie \(G(c) = 0\) es absurdo si vos supusiste que tu hipótesis inicial es falsa?
Por otro lado, me parece que la función implícita la usás de la forma en que
Considerás la curva \(S = \{(a,b) / f(a,b) = 0\}\) y luego acordate que para definir la función implícita el gradiente no tiene que ser nulo en alguno de las coordenadas. Intentá demostrar por el absurdo, al intentar definir la función implícita, que nunca vas a poder definirla porque siempre lo vas a tener nulo. Me parece que también tenés que usar que \(f(a,b) = 0\) es solo \(0\) en \((a,b)\) y no en un entorno...
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Cristianrock dijo:
Por el Teorema del boludo, que asegura que si hay 2 boludos en un mismo final es el mismo boludo
Ivoo, mil disculpas acabo de registrarme y ni idea como se usa todavia el Latex, como no tenía tiempo de leerlo todo y aprenderlo lo hice asi nomas
ivoo escribió:
para mr max, como aseguras que C es distinto de (a,b)??
Te respondo, Justamente a la G(xy) la defini como la misma funcion F(xy) pero definida en todos lados menos el (a,b) ,que sigue siendo arcoconexo (siempre tenes una curva continua contenida en el dominio para cualquier par de puntos) y la funcion sigue siendo continua en todo su dominio( se puede deducir formalmente si no es obvio) entonces me queda que la funcion es distinta de cero para todo su dominio, y ahi supongo que existen P y Q en el dominio (todos menos "(a,b)" ) tal que G(P)< 0 < G(Q) y con bolzano llego a un absurdo : que existe un C perteneciente al dominio de G (todos menos "(a,b)" ) tal que G(C)=0
No se entiende mucho, pero por qué decís quie \(G(c) = 0\) es absurdo si vos supusiste que tu hipótesis inicial es falsa?
Lo que supuse que mi TESIS es falsa, es decir, que con todas las condiciones iniciales (con todas mis hipótesis) no se da lo que quiero demostrar, y llego a un absurdo, entonces mi Tesis es verdadera
( La tesis es que la funcion F(xy) es o toda positiva o toda negativa, excepto en (a,b) )
Por otro lado, me parece que la función implícita la usás de la forma en que
Considerás la curva \(S = \{(a,b) / f(a,b) = 0\}\) y luego acordate que para definir la función implícita el gradiente no tiene que ser nulo en alguno de las coordenadas. Intentá demostrar por el absurdo, al intentar definir la función implícita, que nunca vas a poder definirla porque siempre lo vas a tener nulo. Me parece que también tenés que usar que \(f(a,b) = 0\) es solo \(0\) en \((a,b)\) y no en un entorno...
Vos decís que si supongo gradiente no nulo entonces por el Teo de implícita debería existir un entorno, ya sea de "a" o de "b" y una función por ej g(x) tal que f(x,g(x))=0 para ese entorno, pero f es solo cero en (a,b) entonces Abs! y listo?
Por otro lado, me parece que la función implícita la usás de la forma en que
Considerás la curva \(S = \{(a,b) / f(a,b) = 0\}\) y luego acordate que para definir la función implícita el gradiente no tiene que ser nulo en alguno de las coordenadas. Intentá demostrar por el absurdo, al intentar definir la función implícita, que nunca vas a poder definirla porque siempre lo vas a tener nulo. Me parece que también tenés que usar que \(f(a,b) = 0\) es solo \(0\) en \((a,b)\) y no en un entorno...
Vos decís que si supongo gradiente no nulo entonces por el Teo de implícita debería existir un entorno, ya sea de "a" o de "b" y una función por ej g(x) tal que f(x,g(x))=0 para ese entorno, pero f es solo cero en (a,b) entonces Abs! y listo?
Claro, algo así tendrías que plantear.
Para aplicar el teorema de implícita se tienen que cumplir estas tres cosas:
\(F(P) = 0\) (sea \(P = (a,b)\))
En un entorno de \(P\) existen las derivadas y son continuas (porque te dicen que \(F\) es \(C^1\).
Una de las derivadas parciales tiene que ser no nula.
Ahora, si se cumplen estas tres cosas, tiene que existir una función, por ejemplo, \(g(a)\) ó \(g(b)\) tal que \(f(a,g(a)) = 0\) o \(f(g(b),b) = 0\) ( según el caso) en un entorno de \((a,b)\). Pero esto es falso porque solo en \((a,b)\) vale cero, y no en su entorno. Esto quiere decir que alguna de las tres condiciones del teorema no se cumplen, y como las dos primeras se cumplen por el enunciado (vale cero ahí y es \(C^1\)), la que no se cumple es la tercera, o sea que su gradiente es nulo.
Para aplicar el teorema de implícita se tienen que cumplir estas tres cosas:
\(F(P) = 0\) (sea \(P = (a,b)\))
En un entorno de \(P\) existen las derivadas y son continuas (porque te dicen que \(F\) es \(C^1\).
Una de las derivadas parciales tiene que ser no nula.
Ahora, si se cumplen estas tres cosas, tiene que existir una función, por ejemplo, \(g(a)\) ó \(g(b)\) tal que \(f(a,g(a)) = 0\) o \(f(g(b),b) = 0\) ( según el caso) en un entorno de \((a,b)\). Pero esto es falso porque solo en \((a,b)\) vale cero, y no en su entorno. Esto quiere decir que alguna de las tres condiciones del teorema no se cumplen, y como las dos primeras se cumplen por el enunciado (vale cero ahí y es \(C^1\)), la que no se cumple es la tercera, o sea que su gradiente es nulo.