Tema
Que taal, aver si alguien me puede ayudar con este ejercicio. Vi algunos parecidos pero este tiene algunas cosas que no se como relacionarlas.
Sea \(F : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) una función de clase \(C^1\), tal que existe un **único **punto \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) con \(F(a,b)=0\). Probar que el gradiente de \(F\) en \((a,b)\) es nulo.
Sugerencia: Usar el Teorema de la Función Implícita.
Saluu2, el foro la rompe !!
No se si estara bien esto que pienso yo, que alguien me corrija:
Si la funcion es \(C^1\) entonces es diferenciable y tambien es continua. Y si ademas existe un unico punto \((a,b)\) donde \(F(a,b)=0\) entonces ese punto es un extremo local, o maximo o minimo. Luego lo que habria que demostrar es que si P es un extremo, entonces el gradiente de F en P se anula.. Como dije, no se si lo que pense esta bien, pero es lo que se me ocurre. El tema es que no uso la sugerencia
choche escribió:
No se si estara bien esto que pienso yo, que alguien me corrija:
Si la funcion es \(C^1\) entonces es diferenciable y tambien es continua. Y si ademas existe un unico punto \((a,b)\) donde \(F(a,b)=0\) entonces ese punto es un extremo local, o maximo o minimo. Luego lo que habria que demostrar es que si P es un extremo, entonces el gradiente de F en P se anula.. Como dije, no se si lo que pense esta bien, pero es lo que se me ocurre. El tema es que no uso la sugerencia
Me parece lo más acertado.
Para resolver este problema se puede usar un resultado útil que es que si f(x;y)=0 SOLO en Xo;Yo, f es diferenciable, entonces f es o toda positiva o toda negativa, para todos los x;y distintos de Xo;Yo.
Esto de demuestra usando el teorema de bolsano, por el absurdo, suponiendo que existe un punto donde f(a;b) >0 y otro f(c:d)<0 , por bolsano tiene que existe un punto donde f(u;v)=0 en el segmento que une (a;b) con (c;d), tomamos el segmento que une (a;b) con (c;d). Suponemos que el punto que vale 0 es (X0;Y0),y que está contenido en el segmento, pero por las propiedades de las funciones continuas existe una bola con centro en f(a:b) donde la función es positiva, y una bola con centro en f(c;d) donde la función es negativa, ambas bolas con radio r. Entonces tomamos un h<<r y escribimos f(a+h;b) f(c+h;d), tomamos el segmento entre ambos puntos, este segmento es paralelo al anterior pero no puede pasar por (xo;yo), vemos que allí no hay ningun punto donde f valga 0, lo cual por bolsano es absurdo.
Entonces, como F(xo;yo)=0 y f es o toda positiva o toda negativa para el resto de los puntos del dominio, F(xo;yo) es o un máximo local o un mínimo local y por el teorema de fermat, el gradiente en el punto (xo;yo) debe valer 0.
NahuelMS escribió:
...por bolsano tiene que existe un punto donde f(u;v)=0 en el segmento que une (a;b) con (c;d)... ...tomamos el segmento entre ambos puntos, este segmento es paralelo al anterior pero no puede pasar por (xo;yo)...
Perdon por mi ignorancia, pero el teorema de bolzano en mas dimensiones dice que el punto en el que f se anula tiene que estar en el segmento q une a los puntos? Yo tengo entendido que con que este en el conjunto donde esta definida f es suficiente, no especificamente en el segmento q los une, o me equivoco?
El teorema en si es más general, y habla de valores de F, "f toma todos los valores intermedios entre f(p) y f(q)". Yo acá obvie algo pero te lo escribo ahora, F es continua en su dominio, entonces si tomás un segmento, llamesmoslo B, y defínís a F que vaya de B en R, B es continua por ser un pedazito del dominio original de F en el cual era continua, entonces le podemos aplicar el teorema de bolsano al segmento y tiene que existir un punto en el cual la función sea 0.
hola, una pregunta, el teorema no dice que tiene que el dominio de la funcion tiene que ser un conjunto arcoconexo? como sabemos que es asi? gracias
Basicamente, Un conjunto es arcoconexo, si para todo punto P y Q que existen en el mismo, hay una curva continua que los une y está contenida en el conjunto. Por ejemplo, un segmento es arcoconexo.
PD: en este ejercicio tu dominio es todo R^2; es arcoconexo.
Me quedé pensando cómo sería la resolución usando el Teorema de la Función Implícita de la sugerencia....y salió ésto 😕
(puede ser? o se esperaba que se la usara de otro modo)
Supongamos que \(\nabla F(a,b)\not = (0,0)\). Tomemos el caso \(\frac{{\partial F}}{{\partial y}}(a,b)\not=0\)
Dado que además \(F\) es de clase \(C^{1}\) y \(F(a,b)=0\), se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implícita.
Existen un abierto \(U\subset\mathbb{R}\) al que pertenece \(a\) y un abierto \(V\subset\mathbb{R}\) al que pertenece \(b\) y una función \(f:U\rightarrow{V}\), con \(f(a)=b\) que satisface \(F(x,f(x))=0 \Leftrightarrow{y=f(x)}\)
(si no entendí mal este teorema...)
Deben existir entonces, \(a'\in U, b'\in V\) que cumplen \(b'=f(a')\). Y que por lo tanto debe verificar \(F(a',b')=0\)
Pero es absurdo porque sólo \(F(a,b)\) era 0. En consecuencia, \(\frac{{\partial F}}{{\partial y}}(a,b)=0\)
Si ahora supongo que \(\frac{{\partial F}}{{\partial x}}(a,b)\not=0\), llegaré a otra contradicción
Por lo tanto \(\nabla F(a,b)=0\)
Saludos
Enunciaste mal el teorema, yo te diría que lo leas de vuelta de los apuntes de Larotonda que está bastante claro. Igual la idea está bien.
NahuelMS escribió:
Enunciaste mal el teorema, yo te diría que lo leas de vuelta de los apuntes de Larotonda que está bastante claro. Igual la idea está bien.
Gracias. Lo reescribi completo para comprenderlo mejor (después veo que hago con cada uno)
De paso hago algunas acotaciones sobre las dudas que voy teniendo, para que me digas si voy por buen camino
Quedó así:
Supongamos que \(\nabla F(a,b)\not = (0,0)\)
Tomemos el caso \(\frac{{\partial F}}{{\partial y}}(a,b)\not=0\)
Sea \(S=\left\{{(x,y)\in\mathbb{R}/F(x,y)=0}\right\}\). Como \(F\) es \(C^{1}\), \((a,b)\in S\) y \(\frac{{\partial F}}{{\partial y}}(a,b)\not=0\), por el TFI:
Existen un intervalo abierto \(I\subset\mathbb{R}\), una función derivable \(f(x):I\rightarrow{\mathbb{R}}\) y una bola \(B\) alrededor de \((a,b)\) tales que \(S\cap B=Gr(f)\)
(nota1: hasta acá entendí, en líneas generales, que S en alguna bola con centro (a,b) puede definirse como una función derivable f(x))
\(\frac{{\partial F}}{{\partial y}}(x,y)\not=0\) para todo \((x,y)\in S\cap B\) y \(\nabla F(x,y)\) es perpendicular a \(S\) en \(S\cap B\)
(nota2: la primer parte no aporta nada nuevo, está en la hipótesis. Y la segunda tampoco)
Para todo \(x\in I\) se tiene
(Ahora estoy más desconcertado. Lo único que se me ocurre es usar 1 --en el hecho de que f está definida en un intervalo abierto-- y el dato del enunciado de que sólo para \(a\) está definida \(f\))
Al estar f definido en un intervalo abierto, por 1 tomo entonces a' de I, con a' distinto de a. Cumple F(a',f(a'))=0, pues (a',f(a')) pertenece a Gr(f) y así a S.
Y acá uso lo que dije antes: (a,b) era el único punto en el que F era 0. Luego, no puede existir otro punto con esa condición. La contradicción viene de suponer una de las derivadas parciales de F distinta de 0.
Lo intento con la otra derivada parcial (de modo análogo)....llego a lo mismo.
Y concluyo que las dos deben valer 0. De ese modo el gradiente es nulo en (a,b)
No hay otra manera de resolverlo con la TFI???
(me cansé de tipear/pensar. Lo revisaré otro día)
saludo
El thread es medio viejo, pero va una pregunta:
No podría usarse la parte 2 del teorema de la Función Implicita tal como lo enunció nash? Diciendo que \(\nabla f\) debe ser perpendicular a \(S\) en el sentido de que si \(v\) es el vector tangente en \(t=0\) de una curva \(c(t)\) en \(S\cap B\) con \(c(0)=(a,b)\) entonces \(\langle \nabla f_{P};v \rangle=0\) Pero como \(S\) consta de un solo elemento \((a,b)\)entonces puedo tomar cualquier trayectoria \(c(t)\) que pase por \((a,b)\) teniendo distintos vectores tangentes. Luego el gradiente tendría que ser nulo?
Gracias.
Saludos.
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
les cuento como tengo enunciado el teorema yo, no se de dnd lo saque, pero parece bastante mas facil de aplicar a este caso, dsp voy a hacer la resolucion q pense, por favor corrijanme si encuentran algo mal
U de R2 abierto, F de U en R, F C1, (a;b) en U / F(a;b)=c, Fy(a;b) distinto de 0. Entonces existe un delta real mayor que 0 (lo voy a llamar d) y una funcion G🙁a-d;a+d) a los reales tal que
para este ejercicio si supones que vale este teorema, como se cumplen el resto de las hipotesis, estas supongiendo que el gradiente de F es distinto del (0;0)... ahora separo en casos si Fx(a;b) es distinto de 0 o Fy(a;b) es distnto de 0, ambos son iguales asi q hago uno solo
si supones q Fx(a;b) es distinto de 0, entonces, existe un delta (d) y una G🙁b-d;b+d) a R / (aplicando 2)) F(G(y);y)=0 para todo y en el intervalo (b-d;b+d) y aca ya es absurdo pues F(a;b)=0 es unico
alguna opinion por favor?
