$$\textrm{2) Sea A }\subset R^{n}\textrm{ abierto, p e A, y f: A }\rightarrow \textrm{R diferenciable en P. Probar que }$$
$$\exists \textrm{ una bola incluida en A centrada en p y una constante = c mayor que 0 / } \forall x\in B:$$
$$\vert f(x) - f(p) \vert \leq C \cdot \Vert X - P \vert$$
$$\textrm{3) Sea I un intervalo abierto de R que contiene a [0,1] y f: I} \rightarrow \textrm{ R, 2 veces derivable y convexa (concava hacia arriba) / f(0) = f(1).}$$
$$\textrm{Probar que f tiene un minimo absoluto en el interior de [0,1]}$$
$$\textrm{4) Sea B } \subset R^{2} \textrm{ una bola abierta y f: B} \rightarrow \textrm{ R diferenciable. Sean p y q 2 puntos de B tales que f(p) = f(q).}$$
$$\textrm{Probar que } \exists \textrm{ un punto c en el segmento que une p y q, c } \neq \textrm{p y c } \neq \textrm{ q, tal que } \triangledown \textrm{f(c) es perpendicular a p - q.}$$
Bueno, primero que nada quiero comentar, que cuando me senté y vi el final en el examen, me frustró un poco, la verdad que no se como le habrá parecido al resto pero a mi en particular me pareció bastante dificil, y en particular el ejercicio 3.
No pongo muchas justificaciones, pongo directamente los desarrollos y no enuncio los teoremas, en el examen hay que enunciarlos y quizá demostrarlos.
1-
No podemos aplicar el teorema de taylor y demostrár porque la función debería ser \(c^{k+1}\) y es \(c^{k}\)
Esto hay que resolverlo usando la regla de L'hospital.
$$\textrm {Donde E es una constante. Esto de se puede hacer porque F(x) es diferenciable, por lo tanto la distancia al plano que lo aproxima en P , puede ser tan chica como queramos si nos acercamos a F(P) , por lo que tomamos una bola B donde se cumpla esto.}$$
3- El 3 es el más largo y el más dificil, me da mucha paja hacerlo, dejo por escrito como se hace y si alguien tiene ganas lo resuelve.
Como buscamos extremos absolutos en un compacto, aplicamos el teorema de weiersstraus y aseguramos que existe el mínimo absoluto.Ahora tenemos que demostrar que ni 0 ni 1 es el mínimo, porque me pide en el interior del conjunto. Luego como F(0)=F(1) aplicamos el teorema de Rolle y aseguramos que existe un c donde F'(c)=0. Luego, usando el polinomio de Taylor de F en C, de orden 2, demostramos que es un mínimo local.
Una vez hecho esto, como la derivada segunda es siempre positiva pues el grafico de f es concavo hacia arriba, aseguramos que la derivada primera es siempre creciente, porque la derivada segunda representa la pendiente de las rectas de la derivada primera. Ahora, como la derivada primera es siempre creciente y F'(c)=0. Podemos deducir que antes de F'(c) la derivada primera es siempre negativa y luego de F'(c) es siempre positiva. Entonces, como una función cuya derivada es siempre negativa es dreciente, y una cuya derivada es siempre positiva es creciente, si tomamos el intervalo [0;c] f es decreciente en ese intervalo, pues su derivada en el es siempre negativa, entonces 1 es máximo de f en ese intervalo y el mínimo valor alcanzado es c. Luego tomamos el intervalo [c;1] y f es creciente en ese intervalo y su primer valor es c, por lo tanto C es el mínimo absoluto de F en el intervalo [0;1].
4-
F(P)=F(Q) Aplico el teorema de lagrange y obtengo que:
Hola
Una pregunta, en el ejercicio 3 pones:
"Luego, usando el polinomio de Taylor de F en C, de orden 2, demostramos que es un mínimo local."
como demostras eso con taylor?
Gracias
Hola:
En realidad no es totalmente necesario demostrar que es un mínimo local, con demostrar que es monotona la derivada y la función, alcanza, igualmente te contesto la pregunta. El criterio de la segunda derivada, para extremos locales, sale a partir del polinomio de taylor, vos sabés que F(x)=P(x)=F(c)+F'(c)+F''(c)+R . Ahora entonces, ves que F(x)=F(c)+F''(c)+R. Si demostrás que el resto es positivo o que es negativo pero menor en módulo que la derivada segunda, te queda que F(x)=F(c)+ algo positivo, en otras palabras, en un entorno de c, siempre f(x)=f(c)+(F´´(c)+R) entonces F(c) es un mínimo local. Osea que basicamente tenés que demostrar que el resto es positivo, o si es negativo menor en módulo que la derivada segunda evaluada en c. Si vas a rendir el final te diría que lo leas de algun lado, la demostración formal porque es importante.
saludos.
Si sos mas especifica en tu duda quiza te puedo ayudar mas, pero lo que te puedo decir es que lo intentes hacer con k=1 o con k=2. Eso te va a ayudar a entender el procedimiento general.
ah, ok, el tema es que mañana rindo y no pude leer las explicaciones para usar latex, respecto al problema 4, lo que no entiendo es como por medio de lagrange se llega al resultado
Considerá \(\phi(t)=tP+(1-t)Q\) una parametrización del segmento por P y Q. ahora si miras
\(F\circ \phi\) te queda una función de una sola variable. En esa función usas Lagrange y la regla de la cadena.