\(1.\) Sea \(f : U \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) con \(U\) abierto y \(P \in U\). Probar que si \(f\) es diferenciable en \(P \in U\) y \(P\) es un extremo local de \(f\), entonces \(\nabla f(P)=0\).
Si \(P\) es un extremo local de \(f\) entonces \(P\) es un máximo local o un mínimo local.
Si \(P=({p}_{1},{p}_{2})\) es un máximo local \(\Rightarrow \exists {B}_{\delta}(P) \subset U\) (bola de radio delta y centro \(P\)) tal que
\((x,y) \in {B}_{\delta}(P) \Rightarrow f(P) \geq f(x,y)\).
Fijo \(x={p}_{1}\), sea \(y\) tal que
\(f\) es diferenciable \(\Rightarrow g\) es derivable , \(\exists \frac{\partial f }{\partial y}(x,y)\) y \(g'(y)= \frac{\partial f }{\partial y}({p}_{1},y)\).
Por Fermat, \(g'({p}_{2})=0\), es decir, \(\frac{\partial f }{\partial y}({p}_{1},{p}_{2})=0\).
Fijo \(y={p}_{2}\)
Sea \(h:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\), \(h(x)=f(x,{p}_{2})\)
Sea \(x\) tal que \(|x-{p}_{1}|=||(x,{p}_{2})-({p}_{1},{p}_{2})||<\delta\) \(\Rightarrow h({p}_{1})=f({p}_{1},{p}_{2}) \geq f(x,{p}_{2})=h(x)\) \(\Rightarrow h\) alcanza un máximo local en \({p}_{1}\)
\(f\) es diferenciable \(\Rightarrow h\) es derivable , \(\exists \frac{\partial f }{\partial x}(x,y)\) y \(h'(x)= \frac{\partial f }{\partial x}(x,{p}_{2})\).
Por Fermat, \(h'({p}_{1})=0\), es decir, \(\frac{\partial f }{\partial x}({p}_{1},{p}_{2})=0\).
Luego, \(\nabla f(P)=( \frac{\partial f }{\partial x}(P),\frac{\partial f }{\partial y}(P))=(0,0)\)
Si \(P\) es un mínimo local la demostración es análoga
\(2.\) Sea \(f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}\). Probar que si \(f\) es integrable entonces para todo \(\varepsilon >0\) existe una partición \(\mathcal{P}\) del intervalo \([a,b]\), \(\mathcal{P}=\lbrace {x}_{0}=a<{x}_{1}< ... <{x}_{n}=b \rbrace\), tal que \(\sum_{i=1}^{n}{M}_{i}({x}_{i}-{x}_{i-1})- \sum_{i=1}^{n}{m}_{i}({x}_{i}-{x}_{i-1}) < \varepsilon\), donde \({M}_{i}=sup \lbrace f(x), x \in [{x}_{i-1},{x}_{i}] \rbrace\) y \({m}_{i}=inf \lbrace f(x), x \in [{x}_{i-1},{x}_{i}] \rbrace\).
Notación:
\(\bar{S}(f,P) = \sum_{i=1}^{n}{M}_{i}({x}_{i}-{x}_{i-1})\), \({M}_{i}\) definido en el enunciado, \(P\) partición.
\(\underline{S}(f,P)= \sum_{i=1}^{n}{m}_{i}({x}_{i}-{x}_{i-1})\), \({m}_{i}\) definido en el enunciado, \(P\) partición.
Quiero ver que \(\exists P\) partición tal que \(\bar{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon\).
\(f\) es integrable, entonces
\(sup \lbrace \underline{S}(f,Q), Q\) partición \(\rbrace = inf \lbrace \bar{S}(f,Q), Q\) partición \(\rbrace = \int_{a}^{b}fdx\).
Por definición de supremo, \(\exists {P}_{1}\) partición de \([a,b]\) tal que
\(\int_{a}^{b}fdx \geq \underline{S}(f,{P}_{1}) > \int_{a}^{b}fdx - \frac{\varepsilon}{2}\) \(\color{blue}{^{(1)}}\)
Por definición de ínfimo, \(\exists {P}_{2}\) partición de \([a,b]\) tal que
\(\int_{a}^{b}fdx \leq \bar{S}(f,{P}_{2}) < \int_{a}^{b}fdx + \frac{\varepsilon}{2}\) \(\color{blue}{^{(2)}}\)
Sea \(P={P}_{1} \cup {P}_{2}\); \(P\) es más fina que \({P}_{1}\) y \({P}_{2}\) entonces
\(\underline{S}(f,{P}_{1}) \leq \underline{S}(f,P)\) \(\color{blue}{^{(3)}}\) y
\(\bar{S}(f,{P}_{2}) \geq \bar{S}(f,P)\) \(\color{blue}{^{(4)}}\)
Usando las desigualdades \(\color{blue}{^{(1)}}\) y \(\color{blue}{^{(3)}}\) y la definición de supremo obtengo
\(\int_{a}^{b}fdx \geq \underline{S}(f,P) \geq \underline{S}(f,{P}_{1}) > \int_{a}^{b}fdx - \frac{\varepsilon}{2}\) \(\color{blue}{^{(5)}}\)
Usando las desigualdades \(\color{blue}{^{(2)}}\) y \(\color{blue}{^{(4)}}\) y la definición de ínfimo obtengo
\(\int_{a}^{b}fdx \leq \bar{S}(f,P) \leq \bar{S}(f,{P}_{2}) < \int_{a}^{b}fdx + \frac{\varepsilon}{2}\) \(\color{blue}{^{(6)}}\)
Juntando \(\color{blue}{^{(5)}}\) y \(\color{blue}{^{(6)}}\)…
\(\bar{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon\).
\(3.\) Sea \(f(x,y)=exp(x^2-xy+x+2y)\). Probar que \(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x,y)-1-x-2y-\frac{3}{2}x^2-2y^2-xy}{x^2+y^2}=0\)
Por el teorema de Taylor sé que a \(f\) cerca de un punto \(({x}_{0},{y}_{0})\) la puedo escribir como
\(f(x,y)={P}_{2}(x,y)+{R}_{2}(x,y, {x}_{0},{y}_{0})\); con \({P}_{2}\) su polinomio de Taylor de orden \(2\) en \(({x}_{0},{y}_{0})\) y \({R}_{2}\) cumple que
Voy a ver que el polinomio de Taylor de orden \(2\) de \(f\) en \((0,0)\) es \(P(x,y)=1+x+2y+\frac{3}{2}x^2+2y^2+xy\)
Por definición, el polinomio de Taylor de orden \(2\) de \(f\) en \((0,0)\) es
Calculando las derivadas y evaluando obtengo que
Luego \({P}_{2}(x,y)=1+1.x+2.y+\frac{1}{2}[3.x^2+4.y^2+2.1.xy]=\)\(1+x+2y+\frac{3}{2}x^2+2y^2+xy\).
Luego
\(\frac{f(x,y)-1-x-2y-\frac{3}{2}x^2-2y^2-xy}{x^2+y^2}=\)\(\frac{f(x,y)-{P}_{2}(x,y)}{||(x,y)||^2}\)=\(\frac{{R}_{2}(x,y,0,0)}{||(x,y)-(0,0)||^2}\) que tiende a \(0\) cuando \((x,y)\) tiende a \((0,0)\) por lo antes dicho.
\(4.\) Estudiar los máximos globales de \(f(x)={x}_{1} \cdot ... \cdot {x}_{n}\) sobre \(K= \lbrace x \in \mathbb{R}^n : \sum_{i=1}^{n}{x}_{i}=s, {x}_{i} \geq 0 \forall i \rbrace\) (\(s>0\) dado). Deducir la desigualdad aritmético-geométrica \(\prod_{i=1}^{n}({x}_{i})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{x}_{i}\).
Como \(K\) es compacto (la demostración de que es compacto se las debo), voy a buscar extremos con Multiplicadores de Lagrange.
Sea \(g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\)
Entonces, si \(\bar{x}\) es un extremo de \(f\) restringido a \(K\),
Si \(\lambda=0\), igualando coordenada a coordenada obtengo \(\bar{x}=0\)
(\(\bar{x}=0 \notin K\), pues si perteneciera \(0=\sum_{i=1}^{n}0=s>0\); absurdo)
Luego \(\lambda \neq 0\)
Mirando la primer y segunda coordenada:
Divido por \({\bar{x}}_{3} \cdot ... \cdot {\bar{x}}_{n}\) y queda
Luego el máximo de \(f\) restringido a \(K\) se alcanza en \(\bar{x}=(\frac{s}{n},...,\frac{s}{n})\).
Sea \(x \in \mathbb{R}^n\) tal que \(\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}=s\) (\(s>0\) dado), entonces